M10 Der Logarithmus

Die Gleichung $2^x = 4$ ist ganz leicht zu lösen. Man erhält $x = 2$. Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
$2^x = 1024$ hat die Lösung $x = 10$,
$5^x = 625$ hat die Lösung $x = 4$,
$3^x = 243$ hat die Lösung $x = 5$.

Doch was macht man, wenn die Gleichung $2^x = 5$ lautet?

Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung $x^2 = 4$ hat die Lösungen $x_1 = -2$ und $x_2=2$. Für die Gleichung $x^2 = 5$ hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen $x_1 = -\sqrt 5, x_2 = \sqrt 5$.

Für die Gleichung $2^x = 5$ muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.

Merke: Die Gleichung $a^x = p$ mit a $\in$ R+ und p > 0 hat die Lösung $x = log_a (p)$. Man spricht für $x = log_a (p)$: "x ist der Logarithmus von p zur Basis a"

Beispiele: $2^x = 4$ hat die Lösung $x = log_2(4) = 2$
$3^x = 243$ hat die Lösung $x = =log_3(243)=5$
$10^x = 5$ hat die Lösung $x = log_{10}(5)$
$2^x = 19$ hat die Lösung $x = log_2[18)$

30px   Aufgabe 1

1. Schreibe den Exponenten als Logarithmus
a) $2^3 = 8$
b) $5^4 = 625$
c) $2^{-3} = \frac{1}{8}$
d) $7^0 = 1$
e) $10^{-2}=0,01$
f) $100^{\frac{1}{2}}=10$

2. Schreibe die Logarithmusgleichung als Exponentialgleichung
a) $log_3(9) = 2$
b) $log_4(16) = 2$
c) $log_4(\frac{1}{16}) = -2$
d) $log_8(0,125) = -1$
e) $log_3(\frac{1}{81})= -4$

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1a) $3 = log_2(8)$
b) $4 = log_5(625)$
c) $-3 = log_2(\frac{1}{8})$
d) $0 = log_7(1)$
e) $-2 = log_{10}(0,1)$
f) $\frac{1}{2}=log_{100}(10)$

2a) $3^2 = 9$
b) $4^2 = 16$
c) $4^{-2}=\frac{1}{16}$
d) $8^{-1}=0,125$

e) $3^{-4}=\frac{1}{81}$

Merke: Es ist $log_a(a^r) = r$ $log_a(1) = 0$

30px   Aufgabe 2

1. Buch S. 101 / 3

2. Buch S. 102 / 4

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Stelle eventuell die passende Exponentialgleichung auf!
Für log₂(32) lautet die Exponentialgleichung $2^x = 32$, also x = 5

1a) 5; b) 10; c) 5; d) 1; e) 4; f) 0; g) -1; h) -3; i) -2; k) -1; l) -2; m) -3
n) -1; o) -1; p) -3; q) 2; r) 0; s) 2; t) 1; u) -1; v) 2; w) 0; x) -1; y) -2

2a) 0,5; b) 0,5; c) $\frac{1}{3}$; d) $\frac{1}{3}$; e) $\frac{1}{5}$; f) $\frac{2}{3}$; g) $\frac{3}{2}$; h) $\frac{3}{2}$;;

i) $\frac{9}{2}$; k) 0,5; l) $\frac{3}{2}$; m) $-\frac{3}{2}$; o) 2; p) -6; q) 0

30px   Aufgabe 3

Logarithmiere
a) $log_a(a^3)$
b) $log_a(a^5)$
c) $log_a(1)$
d) $log_a(\frac{1}{a^2})$
e) $log_a(\frac{1}{a})$
f) $log_a(a)$
g) $log_a(\sqrt a)$
h) $log_a(\sqrt[5]{a})$
i) $log_a(\sqrt[4]{a^3})$
k) $log_a(\frac{1}{\sqrt a})$

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a) $log_a(a^3)= 3$
b) $log_a(a^5)= 5$
c) $log_a(1)= 0$
d) $log_a(\frac{1}{a^2})= -2$
e) $log_a(\frac{1}{a})= -1$
f) $log_a(a)=1$
g) $log_a(\sqrt a)=\frac{1}{2}$
h) $log_a(\sqrt[5]{a})=\frac{1}{5}$
i) $log_a(\sqrt[4]{a^3})=\frac{3}{4}$

k) $log_a(\frac{1}{\sqrt a})=-\frac{1}{2}$

Merke: Rechengesetze des Logarithmus Logarithmus eines Produkts: $log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)$ Logarithmus eines Quotienten: $log_a(\frac{p}{q})=log_a(p) - log_a(q)$ Logarithmus einer Potenz: $log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)$

Zur Begründung der Rechenregeln:
Man geht bei den Begründungen auf die Definition des Logarithmus zurück und macht dann entsprechende Umformungen bei den Exponentialgleichungen. Das Ergebnis erhält man, wenn man die Exponenten vergleicht.
1. $log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)$ erhält man durch folgende Überlegung:
$p = b^x$ und $q = b^y$. Dann ist $p\cdot q = b^x \cdot b^y = b^{x+y}$, also $x + y = log_b(p\cdot q)$.
Da $x = log_b (p)$ und $y = log_b(q)$ ist erhält man $log_b(p)+log_b(q)=x+y=log_b(p\cdot q)$.

2. $log_a(\frac{p}{q}) = log_a(p) - log_a(q)$ erhält man durch folgende Überlegung:
$p = b^x$ und $q = b^y$. Dann ist $p : q = b^x : b^y = b^{x-y}$, also $x - y = log_b(p : q)$.
Da $x = log_b (p)$ und $y = log_b(q)$ ist erhält man $log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q})$.

3. Es ist $a^{log_a(p^r)} = p^r = (a^{log_a(p)})^r=a^{r\cdot log_a(p)}$. Zwei Potenzen mit gleicher Basis haben denselben Wert, wenn auch ihre Exponenten gleich sind, also $log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)$.

Beispiele:1. $log_3(9a^4)=log_3(9)+log_3(a^4)=log_3(3^2)-4\cdot log_3(a) = 2 + 4log_3(a)$

2. $log_{10}(1000\cdot\sqrt[5]{a^2}=log_{10}(1000)+log_{10}(a^{\frac{2}{5}})=3 +\frac{2}{5}log_{10}(a)$

3. $log_2 (6) log_2(48) = log_2(\frac{6}{48})=log_2(\frac{1}{8})=log_2(2^{-3})=-3$

30px   Merke Für $log_{10}$ schreibt man $lg$ Für $log_e$ schreibt man $ln$, wenn e die Eulersche Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 ... ist. Diese beiden Symbole findest du auch auf dem Taschenrechner.

4. $lg(\sqrt {250})-lg(\sqrt 2)+0,5lg(8)=lg({\frac{\sqrt {250} \cdot \sqrt 8}{\sqrt 2}}= lg(\sqrt{1000} =\lg(10^{\frac{3}{2}})=\frac{3}{2}$

30px   Merke Nicht verwechseln!

Merke: Basiswechsel: $log_a(p) = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}$

Zur Begründung: $x = log_a(p)$ ist Lösung der Gleichung $a^x = p$.
Nun möchte man die Basis a durch die Basis b ersetzen. Dazu verwendet man, dass $a = b^{log_b(a)}$ ist.
Es ist dann $a^x = (b^{log_b(a)})^x = b^{x \cdot log_b(a)}$ und die Gleichung lautet dann $b^{x \cdot log_b(a)}=p$
Diese Gleichung löst man nach dem Exponenten auf. Es ist $x \cdot log_b(a) = log_b(p)$, dividiert durch den Koeffizienten von x und erhält $x = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}$.
Damit hat man gezeigt, dass $log_a(p) = x = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}$ ist.

Beispiele: Auf den Taschenrechnern sind immer zwei Logarithmus-Tasten, meist eine Taste log oder lg für den Logarithmus zur Basis 10 und ln für den Logarithmus zur Basis e.
$log_2(5) = \frac{lg(5)}{lg(2)}\approx 2,231928$
$log_7(2)=\frac{ln(2)}{ln(7)}\approx 0,359207$