M11 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

Ein wichtiger Begriff bei Berechnungen ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit. Laplace führte bei gleichwahrscheinlichen Ergebnissen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E aals

       Anzahl der für E günstigen Ergebnisse
P(E)= ---------------------------------------
       Anzahl aller Ergebnisse

Als Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlichkeit erhält man:

1. $P(E) \ge 0$

2. $P(\Omega)=1$

3. Sind zwei Ereignisse A und B unvereinbar $A \cap B=\lbrace \rbrace \rbrace$, dann ist $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.

30px   Merke Zwei Ereignisse Ereignisse A und B heißen unvereinbar, wenn $A \cap B=\lbrace \rbrace$ ist.

Über 200 Jahre später definierte Kolmogorow Wahrscheinlichkeiten über seine Axiome zur Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Merke: Axiomensystem von Kolmogorow Eine Funktion P, die jeder Teilmenge E einer Ergebnismenge $\Omega$ eine reelle Zahle P(E) zuordnet heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Wahrschlichkeitsverteilung, wenn die drei Bedingungen erfüllt sind: 1. $P(E) \ge 0$ 2. $P(\Omega) = 1$ 3. $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1)+P(E_2)$, wenn $E_1\cap E_2 = \lbrace \rbrace$

Man sieht, dass die Axiome von Kolmogorow sich sehr stark an die Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlichkeiten anlehnen. Nur geht es hier um die geforderten Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion P, die hiermit jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit P(E) zuordnet. Die Funktion P muss diese drei Axiome erfüllen, dann ist sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Beispiele: 1. Werfen eines Laplace-Würfels
Die Wahrscheinlichkeiten beim Laplace-Würfel für die möglichen Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5, 6 sind jeweils $P(\lbrace 1 \rbrace)= P(\lbrace 2 \rbrace)=P(\lbrace 3 \rbrace)=P(\lbrace 4 \rbrace)=P(\lbrace 5 \rbrace)=P(\lbrace 6 \rbrace)=\frac{1}{6}$
Die Axiome von Kolmogorow sind erfüllt:
1. $p(E) \ge 0$
2. $P(\Omega)=P(\lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=1$
3. Die Ergebnisse sind unvereinbare Ereignisse, es gilt hier die Summenformel.
Also hat man eine Wahrscheinlichkeitsfunktion P, die jedem Ergebnis (Elementarereignis) die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ zuordnet.

2. Werfen eines "gezinkten" Würfels
Man hat einen Würfel mit den Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 und $P(\lbrace 1 \rbrace)= P(\lbrace 2 \rbrace)=P(\lbrace 3 \rbrace)=P(\lbrace 4 \rbrace)=P(\lbrace 5 \rbrace)=0,1$ und $P(\lbrace 6 \rbrace)=0,5$
Auch hier sind die Axiome von Kolmogorw erfüllt:
1. $P(E)\ge 0$
2. $P(\Omega)=P(\lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace)=0,1+0,1+0,1+0,1+0,1+0,5=1$
3. Die Ergebnisse sind unvereinbare Ereignisse, es gilt hier die Summenformel.

3. Werfen eines "exotischen Würfels"
Man hat einen Würfel mit den Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 und $P(\lbrace 1 \rbrace)= P(\lbrace 2 \rbrace)=P(\lbrace 3 \rbrace)=P(\lbrace 4 \rbrace)=P(\lbrace 5 \rbrace)=0,15$ und $P(\lbrace 6 \rbrace)=0,2$
Hier ist das 2. Axiom von Kolmogorw nicht erfüllt:
2. $P(\Omega)=P(\lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace)=0,15+0,15+0,15+0,15+0,15+0,2=0,95$
P ist keine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Diesen Würfel gibt es nicht!

Was macht man, wenn $A$ und $B$ nicht unvereinbar sind?

Das Ereignisdiagramm schaut dann so aus:

Hier sieht man, dass in der Schnittmenge $A \cap B$ alle Elemente sind, die sowohl in $A$ als auch in $B$ vorkommen. In der Vereinigungsmenge $A \cup B$ werden diese Elemente für P(A) und P(B) jeweils gezählt, sie werden doppelt gezählt. Um dies zu korrigieren, muss man die Elemente der Schnittmenge einmal abziehen.

30px   Merke Für Ereignisse A und B, die nicht unvereinbar sind ($A\cap B\ne \lbrace \rbrace$) gilt: $P(A\cup B)=P(A) + P(B) - P(A\cap B)$