M10 Exponentialgleichungen

Merke: Eine Gleichung, bei der die Unbekannte x nur im Exponenten vorkommt heißt Exponentialgleichung.

Zum Lösen einer Exponentialgleichung bildet man von beiden Seiten den Zehnerlogarithmus und löst diese neue Gleichung

unter Verwendung des Potenzgesetzes für Logarithmen. 

Man kann eigentlich jeden Logarithmus zu irgendeiner Basis verwenden. Der Zehnerlogarithmus ist auf Taschenrechnern als Taste dabei und damit leicht verwendbar. Da auf dem Taschenrechner auch eine ln-Taste für den Logarithmus zur Basis e vorhanden ist, könnte man auch den ln nehmen. Allerdings wissen wir noch nichts über die Zahl e, die hier dann Basis ist.

Beispiel: $2 = 1,035^x$
Man bildet auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus $lg(2)=lg(1,035^x)$
. Nun wendet man auf der rechten Seite das Potenzgesetz an: $log(2)=x\cdot lg(1,035)$.
Diese Gleichung löst man nach x auf $x = \frac{lg(2)}{lg(1,035)}\approx 20,149$

  Aufgabe

Löse die Exponentialgleichung. Runde gegebenenfalls auf 3 Nachkommastellen.

a) $5\cdot 1,06^x = 15$

b) $5\cdot 0,94^x = 2$

c) $3^{2x} = 6$

d) $2^x\cdot 3^x = 10$

e) $2^x\cdot 5^{-x} = 6,25$

f) $2^x = 3^{2x}$

g) $2^{x-1} = 3$

h) $0,25^{1-x}=10,25$

i) $10\cdot 25^{x+3} = 2$

k) $2^x + 2^3 = 10,25$

l) $5\cdot 9^x + \left ( \frac{1}{3} \right ) ^{-2} = 7$

m) $2^x + \left ( \frac{1}{2} \right )^{-x} = 12,5$

o) $2^x - 5\left ( \frac{1}{2} \right )^x = 4$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $5\cdot 1,06^x = 15$
$lg(5\cdot 1,06^x) = lg(15)$
$lg(5) + lg(1,06^x) = lg(15)$
$x\cdot lg(1,06) = lg(15) - lg(5)$
$x \cdot lg(1,06)=lg(\frac{15}{5})$
$x = \frac{lg(3)}{lg(1,06)}\approx 0,452$

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b) $5\cdot 0,94^x = 2$
$lg(5\cdot 0,94^x)= lg(2)$
$lg(5) + x\cdot lg(0,94)=lg(2)$
$x\cdot lg(0,94)=lg(0,4)$
$x = \frac{lg((0,4)}{lg(0,94)}\approx 14,809$

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c) $3^{2x} = 6$
$lg(3^{2x})=lg(6)$
$2x \cdot lg(3)=lg(6)$
$x = \frac{lg(6)}{2\lg(3)}\approx0,815$

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d) $2^x\cdot 3^x = 10$
$6^x = 10$
$lg(6^x) = lg(10)$
$x = \frac{lg(10)}{lg(6)}\approx 1,285$

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e) $2^x\cdot 5^{-x} = 6,25$
$2^x\cdot 0,2^x = 6,25$
$0,4^x = 6,25$
$x\cdot lg(0,4)=lg(6,25)$ $x = \frac{lg(6,25)}{lg(0,4}=-2$

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f) $2^x = 3^{2x}$
$x\cdot lg(2)=2x\cdot lg(3)$
$x(lg(2)-2lg(3))=0$
$x = 0$

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g) $2^{x-1} = 3$
$(x-1)lg(2) = lg(3)$
$x = \frac{lg(3)}{lg(2)}+1\approx 2,285$

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h) $0,25^{1-x}=10,25$
$(1-x)lg(0,25)=lg(10,25)$
$x = 1-\frac{lg(10,25)}{lg(0,25)}\approx 2,679$

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i) $10\cdot 25^{x+3} = 2$
$1+(x+3)lg(25)=lg(2)$
$x = \frac{lg(2)-1}{lg(25)}-3=-3,5$

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k) $2^x + 2^3 = 10,25$
$2^x = 2,25$
$x \approx 1,170$

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l) $5\cdot 9^x + \left ( \frac{1}{3} \right ) ^{-2} = 7$
$5\cdot 9^x =7-9$
$5 \cdot 9^x = -1$ hat keine Lösung!

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m) $2^x + \left ( \frac{1}{2} \right )^{-x} = 12,5$
$2^x + 2^x = 12,5$
$2\cdot 2^x = 12,5$
$2^x = 6,25$
$x = \frac{lg(6.25)}{lg(2)}\approx 2,644$

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o) $2^x - 5\left ( \frac{1}{2} \right )^x = 4$
$(2^x)^2 - 5 = 4\cdot 2^x$
$(2^x)^2 - 4\cdot 2^x - 5 = 0$
Substituiere $z = 2^x$
$z^2 - 4z - 5 = 0$
$(z+1)(z-5)=0$
$z_1=-1, z_2 = 5$
Zurücksubstituieren:

$2^{x_1}=-1$ geht nicht!, $2^{x_2}=5$ ergibt $x=\frac{lg(5)}{lg(2)}\approx 2,322$