M11 Stochastische Unabhängigkeit

Wann sind zwei Eigenschaften unabhängig voneinander? Bei den Vierfeldertafeln hat man immer zwei Eigenschaften und trägt die (absoluten oder relativen) Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten dazu ein.
Was heißt nun in der Stochastik, dass die zwei Eigenschaften stochastisch unabhängig oder stochastisch abhängig sind.

  Aufgabe 1

Überlegen Sie sich, was stochastisch unabhängig oder stochastisch abhängig bedeuten könnte?
Nehmen Sie als eine Eigenschaft
a) "blond" und als andere Eigenschaft das Geschlecht. Ist nun "blond" vom Geschlecht abhängig oder unabhängig?
b) "Kind ist Brillenträger" und als andere Eigenschaft "Eltern sind Brillenträger"
Was verstehen Sie in beiden Fällen unter stochastisch unabhängig oder stochastisch abhängig?

Merke: Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses nicht die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses ändert.

  Aufgabe 2

Was bedeutet stochastisch unabhängig für die Beispiele aus Aufgabe 1?

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Die Ereignisse sind unabhängig, wenn
a) die Eigenschaft "blond" zu sein ist unter männlichen wie weiblichen Personen gleich ist.

b) die Eigenschaft "Kind ist Brillenträger" unter den Eltern mit Brille genauso groß ist wie bei den Eltern ohne Brille.

In dem folgenden Video wird stochastisch unabhängig oder stochastisch abhängig jeweils an den zwei Beispiel erklärt und gelöst.

Merke Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn $P(A)=P_B(A)$ ist.

Wiederholung: Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ erhält man mit der Formel $P_B(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Ist nun $P(A)=P_B(A)$, dann gilt für die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_B(A)=P(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ und wenn man umformt: $P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Merke: Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn $P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Ist $P(A \cap B)\ne P(A)\cdot P(B)$, dann heißen die beiden Ereignisse A und B stochastisch abhängig.

In diesen Videos wird untersucht, ob die beiden Ereignisse stochastich unabhängig oder abhängig sind: