M11 Stochastische Unabhängigkeit

Wann sind zwei Eigenschaften unabhängig oder abhängig voneinander? Bei den Vierfeldertafeln hat man immer zwei Eigenschaften und trägt die (absoluten oder relativen) Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten dazu ein.
Was heißt nun in der Stochastik, dass die zwei Eigenschaften stochastisch unabhängig oder stochastisch abhängig sind.
Man betrachtet die zwei Eigenschaften "blond" und "weiblich" und stellt sich den Extremfall vor, dass jede weibliche Person blond ist. Jede weibliche Person ist blond und jede nicht blonde Person ist dann nicht weiblich. Hier wird man sicher sagen, dass die beiden Eigenschaften "blond" und "weiblich" voneinander abhängig sind. Welche Bedingungen müssen gegeben sein, dass die zwei Eigensschaften unabhängig sind?

  Aufgabe 1

Überlegen Sie sich, was stochastisch unabhängig oder stochastisch abhängig bedeuten könnte?
Nehmen Sie als eine Eigenschaft
a) "blond" und als andere Eigenschaft das Geschlecht. Ist nun "blond" vom Geschlecht abhängig oder unabhängig?
b) "Kind ist Brillenträger" und als andere Eigenschaft "Eltern sind Brillenträger"
Was verstehen Sie in beiden Fällen unter stochastisch unabhängig oder stochastisch abhängig?

Merke: Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses nicht die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses ändert.

In unserem Fall der zwei Eigenschaften "blond" und "weiblich" würde das bedeuten, dass der Anteil von "blond" unter den weiblichen Personen genauso groß ist wie unter den nicht weiblichen Personen bzw in der gesamten Bevölkerung. Das Eintreten von "weiblich" oder "nicht-weiblich" soll die Eigenschaft "blond" nicht beeinflussen und umgekehrt. Das ist der Fall, wenn "weiblich" unter den blonden Personen genauso vertreten ist, wie in der Grundgesamtheit, wenn also ihr Anteil in beiden Fällen gleich ist.

  Aufgabe 2

Was bedeutet stochastisch unabhängig für die Beispiele aus Aufgabe 1?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Ereignisse sind unabhängig, wenn
a) die Eigenschaft "blond" zu sein ist unter männlichen wie weiblichen Personen gleich ist.

b) die Eigenschaft "Kind ist Brillenträger" unter den Eltern mit Brille genauso groß ist wie bei den Eltern ohne Brille.

In dem folgenden Video wird stochastisch unabhängig oder stochastisch abhängig jeweils an den zwei Beispiel erklärt und gelöst.

Merke Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn $P(A)=P_B(A)$ ist.

Wiederholung: Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ erhält man mit der Formel $P_B(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Ist nun $P(A)=P_B(A)$, dann gilt für die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_B(A)=P(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ und wenn man umformt: $P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Merke: Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn $P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Ist $P(A \cap B)\ne P(A)\cdot P(B)$, dann heißen die beiden Ereignisse A und B stochastisch abhängig. A und B stochastisch unabhängig $\Longleftrightarrow$ $P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$

In diesen Videos wird untersucht, ob die beiden Ereignisse stochastich unabhängig oder abhängig sind:

Merke Man prüft ob zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, indem man schaut, ob die Gleichung $P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$ gültig ist.

  Aufgabe 3

Bearbeiten Sie auf der Seite die Aufgaben 1 und 2.

Merke Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, dann ist $P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$.

  Aufgabe 4

Bearbeite die Aufgaben auf
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