M10 Eigenschaften der Exponentialfunktion

Die Funktion $f:x \rightarrow a^x$

  Aufgabe 1

Verändere die Basis a und beobachte die Auswirkungen auf den Verlauf des Graphen.

Notiere die Antworten auf folgende Fragen:
1. Für welche Werte der Basis a ist die Funktion streng monoton steigend und für welche Werte streng monoton fallend?
2. Gibt es einen Wert für a, sodass die Funktion konstant ist?
3. Gibt es Werte für a, sodass der Graph der Funktion unterhalb der x-Achse verläuft?
4. Gibt es für alle Graphen einen gemeinsamen Punkt?

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1. Für 0 < a < 1 ist die Exponentialfunktion streng monoton fallend, für a > 1 ist sie streng monoton steigend.
2. Für a = 1 ist die Funktion konstant.
3. Der Graph der Funktion verläuft für alle Werte von a oberhalb der x-Achse.

4. Alle Graphen gehen durch den Punkt (0:1).

Die Funktion $f:x \rightarrow b\cdot a^x$

  Aufgabe 2

Verändere mit den Schiebereglern den Faktor b und die Basis a.

Notiere die Antworten auf folgende Fragen:
1. Wie beeinflusst der Faktor b den Verlauf des Graphen?
2. Wie hängen die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen mit der y-Achse von den Parametern b und a ab?

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1. Wenn der Faktor b negativ ist, verläuft der Graph der Funktion unterhalb der x-Achse.

2. Der Graph der Funktion f mit f(x) = b·a^x geht stets durch den Punkt (0;b).

  Aufgabe 3

1. Drucke dieses Blatt aus und zeichne die Graphen. Übberprüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.
2. Ordne richtig zu.

Zusammenfassung

Merke: Die Exponentialfunktion $f:x \rightarrow b\cdot a^x$ bzw. ihr Graph hat folgende Eigenschaften: Die Definitionsmenge aller Exponentialfunktionen ist R. Es ist a > 0. b = 1 : Es geht um die Exponentialfunktion $f:x \rightarrow a^x$ und ihren Graph. $a^x$ ist stets positiv. Alle Graphen gehen durch den Punkt (0;1) Die Graphen der Funktionen $f$ mit $f(x) = a^x$ und $g$ mit $g(x) = \frac{1}{a}^x=a^{-x}$ lliegen symmetrisch bezüglich der y-Achse. Für 0 < a < 1 ist der Graph monoton fallend, für a = 1 ist die Exponentialfunktion $f(x) = 1^x=1$ konstant, für a > 1 ist der Graph montoton steigend. Für 0 < a < 1 nähert sich der Graph beliebig nahe an die positive x-Achse; die positive x-Achse ist Asymptote. Für a > 1 nähert sich der Graph beliebig nahe an die negative x-Achse; die negative x-Achse ist Asymptote. b ≠ 1 Wenn b > 0 ist, treten nur positive Funktionswerte auf. Wenn b < 0 ist, treten nur negative Funktionswerte auf. Der Graph geht durch den Punkt (0;b) Die Graphen der Funktionen f mit f(x) = b·ax und g mit g(x) = -b ·ax sind symmetrisch bezüglich der x-Achse.

  Aufgabe 4

1. Verifiziere die Aussagen des Merksatzes mit Hilfe des Applets.

2.a) Welche Bedeutung hat der Wert des Parameters a für den Verlauf des Graphen?
b) Was ist für a =1?
c) Welche Bedeutung hat der Wert von b für den Verlauf des Graphen?

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2.a) Der Parameter a gibt das Wachstum an. Ist 0 < a < 1, so hat man eine exponentielle Abnahme, für 1 < a eine exponentielle Zunahme.
0 < a < 1: Je kleiner a ist, desto schwächer fällt der Graph. Nähert sich a dem Wert 1, dann fällt der Graph steiler.
1 < a: Je größer a wird, desto steiler wird der Graph.
b) Für a = 1 hat man die konstante Funktion f(x) = b·1^x = b·1 = b.

c) Der Parameter b gibt den Startwert bei x = 0 an. Veränderung von b streckt bzw. staucht den Graph der Exponentialfunktion $f:x \to a^x$, wenn 0 < b < 1 wird er nach unten in y-Richtung gestaucht, wenn 1 < b ist nach oben in y-Richtung gestreckt. Wenn b negativ ist erfolgt eine Spiegelung an der x-Achse.

Aufgaben

  Aufgabe 5

1. Zeichne die beiden Graphen G_f und G_g für das Intervall [-2;2]. Was stellst du fest? Erkläre deine Beobachtung!
a) $f(x) = 3^x; g(x) = (\frac{1}{3})^x$
b) $f(x) = (\frac{3}{2})^x; g(x) = (\frac{2}{3})^x$
c) f(x) = 2,5^x; g(x) = 0,4^x

2. Gib jeweils an, ob es sich um eine Exponentialfunktion, eine lineare Funktion, eine quadratische Funktion oder eine Bruchfunktion handelt. Zeichne jeweils den groben Verlauf des Graphen.
a) $f(x) = 3 \cdot 2^x$
b) $f(x) = 3 \cdot x^2$
c) $f(x) = 3 \cdot 2x$
d) $f(x) = 3 : x$
e) $f(x) = 3 - x^2$
f) $f(x) = 3 - 2x$
g) $f(x) = 3 \cdot 0,5^x$
h) $f(x) = (x + 1) (x-1)$

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1. siehe Applet 1 nach der Lösung.
Die Graphen sind achsensymmetrisch zur y-Achse.
Begründung: Ersetzt man x durch -x, dann ist $f(-x) = a^{-x} = (\frac{1}{a})^x = g(x)$

2.a) Exponentialfunktion
b) quadratische Funktion
c) lineare Funktion
d) Bruchfuntkion
e) quadratische Funktion
f) lineare Funktion
g) Exponentialfunktion
h) quadratische Funktion

Graphen siehe Applet 2 nach der Lösung

Applet 1:

Applet 2: