Rationale Funktionen hebbare Definitionslücken

Die Funktion

ist an den Nullstellen des Nenners $n(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, also für $x \not= -2; 1$ nicht erklärt. Vereinfacht man den Funktionsterm $\frac{x-1}{x^2+x-2} =\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1}{x+2}$ so ist der gekürzte Term $\frac{1}{x+2}$ für $x = 1$ erklärt mit dem Wert $\frac{1}{3}$. Man sagt, dass $x=1$ eine hebbare Definitionslücke ist.

Merke Ist $x_0$ eine Nullstelle des Zählers und des Nenners der gebrochen-rationalen Funktion $f:x\rightarrow \frac{z(x)}{n(x)}$ und existiert der Grenzwert $\lim_{x \to x_0}{f(x)}$, so nennt man $x_0$ eine hebbare Definitionslücke der Funktion $f$.

Die neue Funktion $\tilde f:x\rightarrow \frac{1}{x+2}$ ist für $x = 1$ mit dem Funktiionswert $\tilde f(1) = \frac{1}{3}$ definiert. Man kann also die Funktion $f$ in die hebbare Definitionslücke fortsetzen. Nimmt man den Funktionswert von $\tilde f(1)=\frac{1}{3}$, dann hat man die Funktion sogar stetig fortgesetzt. Die Funktion $\tilde f$ ist identisch mit der Funktion $f$, nur dass sie auch noch für $x=1$ definiert ist.

30px   Aufgabe Im folgenden Applet wird die Funktion $f:x \rightarrow f(x) = \frac{(x+3)(x-2)^2}{(x-2)^n}$ dargestellt . Variiere mit dem Schieberegler den Wert des Exponenten der Nennerpotenz. Beobachte die Veränderungen für $x=2$ beim Variieren von n. Formuliere deine Beobachtung.

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Für n = 4 ist $x=2$ nicht hebbare Definitionslücke. Der Graph hat an der Stelle $x=2$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Für n = 3 ist $x=2$ nicht hebbare Definitionslücke. Der Graph hat an der Stelle $x=2$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Für n = 2 ist die Definitionslücke $x=2$ hebbar.

Ebenso sieht der Graph für n = 1 "durchgezeichnet" aus, $x=2$ ist eine hebbare Definitionslücke.

Tatsächlich ist aber für n = 2 oder n = 1 an der Stelle $x = 2$ ein Loch. Die Funktion $f$ ist dort nicht definiert! Man kann $f$ aber in $x = 2$ fortsetzen, dies macht die Funktion $\tilde f$.
Für n = 2 würde man am Graph den Wert $\tilde f(2)=5$ ablesen.

Für n = 1 würde man am Graph den Wert $\tilde f(2)=0$ ablesen.

  Aufgabe 1

Gib jeweils für die Funktion $f$ die Definitionslücken an und untersuche welche Definitionslücken hebbar sind. Gib gegebenenfalls eine Fortsetzung von $f$.

a) $f$ mit $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$

b) $f$ mit $f(x) = \frac{4x}{x^2-2x}$

c) $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x+7}$

d) $f$ mit $f(x) = \frac{x^2-4}{x-3}$

e) $f$ mit $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}$

f) $f$ mit $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}$

g) $f$ mit $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2-5x+6}$

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a) $x = 2$ ist eine Definitionslücke; wegen $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ ist $x=2$ hebbare Definitionslücke mit $\tilde f(2)=4$.

b) $x = 0; x = 2$ sind Definitionslücken; wegen $\frac{4x}{x^2-2x}=\frac{4x}{x(x-2)}=\frac{4}{x-2}$ ist $x=0$ hebbare Definitionslücke mit $\tilde f(0)=-2$.

c) $x = -7$ ist Definitionslücke; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist $x = -7$ keine hebbare Definitionslücke.

d) $x = 3$ ist Definitionslücke; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist $x = 3$ keine hebbare Definitionslücke.

e) $x = -2$ ist Definitinoslücke; wegen $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x+2)^2}=\frac{x(x-3)}{x+2}$ ist $x=-2$ weiterhin Definitionslücke und nicht hebbar.

f) $x = 3$ ist Definitionslücke; wegen $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}=\frac{x(x+2)(x-3)}{x-3}=x(x+2)$ ist $x=3$ eine hebbare Definitionslücke mit $\tilde f(3)=15$.

g) $x = 2; x = 3$ sind Definitionslücken; wegen $\frac{x^3+x^2-6x}{x^2-5x+6}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x(x+2)}{x-2}$ eine hebbare Definitionslücke mit $\tilde f(3)=15$.

  Aufgabe 2

Ordne die hebbare bzw. nicht hebbare Definitionslücke und die angegebene Funktion $f:x \rightarrow f(x)$ richtig zu!

$f(x) = \frac{2x}{x-12}$	x=12 ist nicht hebbare Definitionslücke.
$f(x) = \frac{x-3}{2x^2-6x}$	x=3 ist hebbare Definitionslücke.
$f(x) = \frac{x^2-x}{x^2-1}$	x=1 ist hebbare Definitionslücke.
$f(x) = \frac{x^2-2x+1}{x^2-3x+2}$	x=2 ist nicht hebbare Definitionslücke.
$f(x) = \frac{x^2-8x}{x^2-64}$	x=8 ist hebbare Definitionslücke.
$f(x) = \frac{x^2-5x+4}{x^2-7x+12}$	x=3 ist nicht hebbare Definitionslücke.