Rationale Funktionen Polstellen

Die Funktion $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ ist für $x = 0$ nicht definiert. Wie verhält sie sich in der Umgebung von $0$? Je kleiner $x$ betragsmäßig wird, desto größer wird der Betrag von $\frac{1}{x}$. Zeigt eine Funktion für einen x-Wert ein solches Verhalten, dann ist der x-Wert eine Definitionslücke und man bezeichnet diese Stelle als Polstelle.

Merke Ist an einer Definitionslücke $x_0$ einer gebrochen-rationalen Funktion $f$ $\lim_{x \to x_0}\left| f(x) \right|=\infty$, dann ist die Definitionslücke $x_0$ eine Polstelle von f.

Beispiele:

1. Die Funktion $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ hat für $x = 0$ einen Pol 1. Ordnung ($0$ ist einfache Nullstelle des Nenners).

Nähert man sich von links an, also $x \rightarrow 0$ mit $x<0$, dann streben die Funktionswerte nach $-\infty$; nähert man sich von rechts an, also $x \rightarrow 0$ mit $x>0$, dann streben die Funktionswerte nach $\infty$. $f$ hat an $x = 0$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Die Gerade $x = 0$ ist senkrechte Asymptote des Graphen von $f$.

2. Die Funktion $g: x \rightarrow \frac{1}{x^2}$ hat für $x = 0$ einen Pol 2. Ordnung ($0$ ist zweifache Nullstelle des Nenners).

Nähert man sich von links oder von rechts an, also $x \rightarrow 0$ mit $x<0$ oder $x>0$, dann streben die Funktionswerte in beiden Fällen nach $\infty$. $g$ hat an $x = 0$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Die Gerade $x = 0$ ist senkrechte Asymptote des Graphen von $f$.

  Aufgabe 1

Ermittle bei den gegebenen Funktionen jeweils die Polstelle(n) der Funktion und beschreibe das Vorzeichenverhalten der Funktion bei Annäherung an die Polstelle(n).

a) $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x-2}$

b) $g$ mit $g(x) = \frac{1}{2-x}$

c) $h$ mit $h(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$

d) $k$ mit $k(x) = \frac{1}{(x-3)^7}$

e) $l$ mit $l(x) = \frac{1}{(x-3)(x+2)}$

f) $m$ mit $m(x) = \frac{1}{(x-3)}+ \frac{1}{x}$

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a) x = 2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): $f(x) \rightarrow -\infty$; Annäherung von rechts (x>2): $f(x) \rightarrow \infty$

b) x = 2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): $g(x) \rightarrow \infty$; Annäherung von rechts (x>2): $g(x) \rightarrow -\infty$

c) x = 2; Pol 2. Ordnung; Pol ohne Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): $h(x) \rightarrow \infty$; Annäherung von rechts (x>2): $h(x) \rightarrow \infty$

d) x = 3; Pol 7. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): $k(x) \rightarrow -\infty$; Annäherung von rechts (x>3): $k(x) \rightarrow \infty$

e) x = -2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<-2): $l(x) \rightarrow \infty$; Annäherung von rechts (x>-2): $f(x) \rightarrow -\infty$

x = 3; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): $l(x) \rightarrow -\infty$; Annäherung von rechts (x>3): $f(x) \rightarrow \infty$

e) x = 0; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<-2): $l(x) \rightarrow -\infty$; Annäherung von rechts (x>-2): $f(x) \rightarrow \infty$

x = 3; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): $l(x) \rightarrow -\infty$; Annäherung von rechts (x>3): $f(x) \rightarrow \infty$

  Aufgabe 2

Ordne die Polstellen und die angegebenen Funktionen $f: x \rightarrow f(x)$ richtig zu!

$f(x) = \frac{x-12}{2x}$	$x = 0$
$f(x) = \frac{2x-6}{5}$	keine Polstelle
$f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x}$	$x_1 = 0; x_2 = 2$
$f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}$	$x_1 = -\frac{1}{2}-\frac{sqrt{5}}{2}; x_2=1; x_3=-\frac{1}{2}+\frac{sqrt{5}}{2}$
$f(x) = \frac{x^2-64}{x^2+2x}$	$x_1 = -2; x_2 = 0$
$f(x) = \frac{x^2+64}{x^2-64}$	$x_1 = -8; x_2 = 8$

  Aufgabe 3

Im folgenden Applet kannst du mit dem Schieberegler die Potenz n des Nenners der Funktion $f:x \rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}$ ändern. Beachte den Verlauf des Graphen bei geraden n und bei ungeraden n. Formuliere deine Beobachtung.

Beschreibe, was du mit dem Schieberegler für $x_0$ änderst.

Merke Man kann allgemein für eine gebrochen-rationale Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{(x-x_0)^n}$ formulieren: Ist n gerade, dann hat die Funktion $f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}$ mit $D = R \backslash \{x_0\}$ an der Stelle $x = x_0$ einen Pol ohne Vorzeichenwechsel. $x_0$ ist ein Pol gerader Ordnung. Ist n ungerade, dann hat die Funktion $f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n}$ mit $D = R\backslash \{x_0\}$ an der Stelle $x = x_0$ einen Pol mit Vorzeichenwechsel. $x_0$ ist ein Pol ungerader Ordnung. Die Ordnung der Polstelle $x_0$ ist die Zahl die angibt wie oft $x_0$ Nullstelle des Nenners (des gekürzten Bruches) ist.