M8 - Beispiele weiterer gebrochen-rationaler Funktionen

Du hast schon verschiedene Graphen gebrochen-rationaler Funktionen gesehen. Hier sollen nun weitere Beispiele gezeigt werden um zu sehen, was alles vorkommen kann.

Du hast für die in direkte Proportionalität $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ gesehen, dass bei x = 0 eine Defintionslücke ist und der Graph dort eine senkrechte Asymptote x = 0 hat.

Bei Annäherung von x an 0 gehen die y-Werte, wenn x negativ ist nach $- \infty$ und wenn x positiv ist nach $\infty$ und nähern sich der Asympote immer mehr an.

Anders schaut es schon bei dieser Funktion $f: x \rightarrow \frac{1}{x^2}$ aus. Diese Funktion hat auch bei x = 0 eine Definitionslücke und der Graph eine senkrechte Asymptote x = 0.

Bei Annäherung von x an 0 , egal ob mit negativen oder positiven x, gehen die y-Werte an 0 nach $\infty$ und nähern sich der Asymptote immer mehr an.

Die Funktion Funktion $f: x \rightarrow \frac{1}{x^2-1}$ hat wegen x²-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken bei x = -1 und x = 1. Ihr Graph schaut dann so aus.

Der Graph hat zwei Asymptoten bei den Definitionslücken x = -1 und x = 1 und nähert sich an diese jeweils unterschiedlich an. Die Funktionswerte gehen je nach Annäherung an die Definitionslücken nach $-\infty$ oder $\infty$.

30px   Merke Hat der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion bei einer Definitionslücke x = a eine senkrechte Asymptote x = a, dann heißt die Definitionslücke Polstelle.

Du hast auch schon gesehen (Aufgabe S. 117/11), dass gebrochen-rationale Funktionen keine senkrechten Asymptoten haben.

Hier sind die Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse.

30px   Aufgabe 2

Ordne die Polstellen und die angegebenen Funktionen $f: x \rightarrow f(x)$ richtig zu!

Beachte, dass eine Postelle als Definitionslücke mit Asymptote hauptsächlich eine Nullstelle des Nenners ist.

$f(x) = \frac{x-12}{2x}$	$x = 0$
$f(x) = \frac{2x-6}{5}$	keine Polstelle
$f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x}$	$x_1 = 0; x_2 = 2$
$f(x) = \frac{x^2-64}{x^2+2x}$	$x_1 = -2; x_2 = 0$
$f(x) = \frac{x^2+64}{x^2-64}$	$x_1 = -8; x_2 = 8$

Für $|x| \rightarrow \infty$ treten waagrechte Asymptoten auf, z.B. die x-Achse oder eine Parallele zu ihr.Es gibt aber auch schräge Asymptoten.
Im folgenden Beispiel stehen in Zähler und Nenner Terme mit x, der Zählerterm ist eine x-Potenz. Man kann den Exponenten der Zählerpotenz ändern und man sieht die Auswirkungen auf den Graphen und die Asymptoten.

30px   Aufgabe

Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion $f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3}$ für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.

Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?

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Die senkrechte Asymptote ist für alle Fälle bei x = 1 und ändert sich nicht.
Ist n = 1 oder n = 2 (die x-Potenz im Zähler ist x oder x² ist kleiner als die Zählerpotenz x³ im Nenner), dann die x-Achse y = 0 für $x \rightarrow \pm \infty$ waagrechte Asymptote.
Bei n = 3 (man hat hier x³ als höchste x-Potenz in Zähler und Nenner, also gleiche x-Potenz) ist die waagrechte Asymptote in y-Richtung verschoben und y = 0,5 istfür $x \rightarrow \pm \infty$ waagrechte Asymptote.

Bei n = 4 wird die Asymptote für für $x \rightarrow \pm \infty$ sogar schräg und die Gerade hat die Gleichung y = 0,5x + 1,5.

30px   Merke Für $x \rightarrow \pm \infty$ haben gebrochen-rationale Funktionen Asymptoten, die waagrecht und auch schräg sein können.