M11 Die Ableitung der Umkehrfunktion
Wiederholung
Die Funktion hat die Umkehrfunktion
.
In der 9. Klasse hatte man die Quadratfunktion mit D = R. Die Umkehrung des Quadrierens ist das Wurzelziehen und man hatte die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Quadratfunktion. Die Wurzelfunktion ist
mit D =
.

Merke:
Es ist Die Hintereinanderausführung einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion hebt sich in ihren Wirkungen auf und man erhält wieder x. |
Merke:
Eine Funktion |
Die strenge Monotonie erhält man mit Hilfe der Ableitung von f.
Die Umkehrfunktion 1. Schränke die Definitionsmenge von 2. Löse die Funktionsgleichung y = f(x) nach x auf. 3. Vertausche x und y. 4. Die Definitionsmenge der eingeschränkten Funktion Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion |
Auf dieser Seite wird dies an Beispielen erklärt.
Hier sind auch Beispiele ohne Berücksichtigung der Definitionsmenge.
Will man nur den Funktionsterm der Umkehrfunktion so macht man diese zwei Schritte 1. In der Gleichung y = f(x) werden x und y vertauscht. 2. Die Gleichung x = f(y) wird nach y aufgelöst. |
Die Umkehrfunktion der e-Funktion |
Die Ableitung der Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion macht die Wirkung der Funktion
rückgängig. Es ist
, wenn x positiv ist. Da die Quadratfunktion beim Bilden der Umkehrfunktion auf D =
eingeschränkt wurde. die die x positiv und die Umkehrung ist in Ordnung.
Wenn man die Verkettung betrachtet, dann ist
, da die Verkettung der beiden Funktionen ihre Wirkungen aufheben und man erhält wieder x.
Nun ist .
Ersetzt man , dann ist
. Dabei ist
.
Also ist und
. Ersetzt man wieder z durch
, dann hat man wegen
die Ableitung der Umkehrfunktion
Merke:
Die Ableitung der Umkehrfunktion |
Beispiele:
1. Die Quadratfunktion hat die Umkehrfunktion
(mit passenden Definitionsmengen, die hier nicht interessieren)
Dabei ist und
.
Desweiteren ist .
Nun ist
2. Die Funktion mit D = R ist eine quadratische Funktion, deren Graph den Scheitel bei (0,5; 1,5) hat. Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Die Funktion ist für x
[0,5;
[ streng monton zunehmend. Die Wertemenge ist W = [1,5;
[
Die Umkehrfunktion erhält man, indem man die Gleichung y = (x-0,5)2 + 1,5
1. nach x auflöst.
und dann
2. x und y vertauscht
Also ist die Umkehrfunktion mit D = [1,5;
[ und W = [0,5;
[.
Der Funktionsterm der Funktion lässt sich umformen in
und hat die Ableitung
.
Ist , dann ist die Ableitung der Umkehrfunktion
Im folgenden Applet kann man die Aussage, der Aufgabe 4, dass die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ist verifizieren. Über dem x-Wert des Punktes auf dem Graphen der ln-Funktion wird die Steigung der Tangente in dem Punkt an den Graphen angetragen. Dieser Punkt liegt auf der Hypberbel
.