Asymptoten bei rationalen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. September 2012, 08:36 Uhr

Merke

Eine Gerade $y = mx + t$ heißt Asymptote für $x \rightarrow \infty$ zum Graph der Funktion $f$ , wenn $\lim_{x \to \infty}[f(x)-(mx+t)]=0$ ist.

Anschaulich kann man es sich so vorstellen, dass der Graph und die Gerade für $x \rightarrow \infty$ beliebig nahe kommen ohne sich zu schneiden.

30px Aufgabe

Wir betrachten im folgenden Applet die Funktion $f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3}$ für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.

Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?

Merke

{{{1}}}

Hier ist es nochmals zusammengefasst.
Zusammenfassung mit Beispielen:

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-Mit diesem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.
+{{Merke|
+Eine Gerade <math> y = mx + t</math> heißt Asymptote für <math>x \rightarrow \infty</math> zum Graph der Funktion <math>f</math>, wenn <math>\lim_{x \to \infty}[f(x)-(mx+t)]=0</math> ist.
+}}
+Anschaulich kann man es sich so vorstellen, dass der Graph und die Gerade für <math>x \rightarrow \infty</math> beliebig nahe kommen ohne sich zu schneiden.
+{{Aufgabe|1=
+Wir betrachten im folgenden Applet die Funktion <math>f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3}</math> für  n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.
+Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?
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+</center>
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-[http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_04/ma_04_02/ma_04_02_02.vlu/Page/vsc/de/ma/1/mc/ma_04/ma_04_02/ma_04_02_19.vscml.html]
+{{Merke|
+Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:<br>
+* Ist z < n, dann ist für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die x-Achse <math> y = 0</math> Asymptote.
+* Ist z = n, und ist a_n der Koeffizient von x^n im Zählerpolynom und b_n der Koeffizient von x^n im Nennerpolynom, dann ist für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die Gerade <math>y = \frac{a_n}{b_n}</math> Asymptote.
+* Ist z = n+1,dann kann man mittels Polynomdivision den Bruch in einen linearen Term <math>mx+t</math> und einen Restbruch umwandeln. Der lineare Term <math>y = mx+t</math> gibt die Asymptote an.
+* Ist z > n+1, dann hat der Graph von <math>f</math> eine asymptotische Kurve.
+}}
+[http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_04/ma_04_02/ma_04_02_02.vlu/Page/vsc/de/ma/1/mc/ma_04/ma_04_02/ma_04_02_19.vscml.html Hier] ist es nochmals zusammengefasst.
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 Zusammenfassung mit Beispielen: <br>
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