Asymptoten bei rationalen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. September 2012, 18:58 Uhr

Merke

Eine Gerade $y = mx + t$ heißt Asymptote für $x \rightarrow \infty$ zum Graph der Funktion $f$ , wenn $\lim_{x \to \infty}[f(x)-(mx+t)]=0$ ist.

Anschaulich kann man es sich so vorstellen, dass der Graph und die Gerade für $x \rightarrow \infty$ beliebig nahe kommen ohne sich zu schneiden.

30px Aufgabe

Wir betrachten im folgenden Applet die Funktion $f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3}$ für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.

Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?

Merke

Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:

Ist z < n, dann ist für $x \rightarrow \pm \infty$ die x-Achse $y = 0$ Asymptote.
Ist z = n, und ist a_n der Koeffizient von x^n im Zählerpolynom und b_n der Koeffizient von x^n im Nennerpolynom, dann ist für $x \rightarrow \pm \infty$ die Gerade $y = \frac{a_n}{b_n}$ Asymptote.
Ist z = n+1,dann kann man mittels Polynomdivision den Bruch in einen linearen Term $mx+t$ und einen Restbruch umwandeln. Der lineare Term $y = mx+t$ gibt die Asymptote an.
Ist z > n+1, dann hat der Graph von $f$ eine asymptotische Kurve.

Im folgenden Applet ist eine ähnliche Funktionenschar wie oben dargestellt: $f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^2}$ für n = 1, 2, 3, 4. Der Grad des Nennerpolynoms ist diesmal 2.
n lässt sich wieder mit dem Schieberegler variieren.

Da das Nennerpolynom Grad 2 hat sieht man für n = 4 die asymptotische Parabel, an die sich der Graph für $x \rightarrow \pm \infty$ annähert.

Hier sind die Überlegungen nochmals zusammengefasst.
Zusammenfassung mit Beispielen:

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-Für n = 4 sieht man die asymptotische Parabel, an die sich der Graph für <math> x \rightarrow \pm \infty</math> annähert.
+Da das Nennerpolynom Grad 2 hat sieht man für n = 4 die asymptotische Parabel, an die sich der Graph für <math> x \rightarrow \pm \infty</math> annähert.
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 [http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_04/ma_04_02/ma_04_02_02.vlu/Page/vsc/de/ma/1/mc/ma_04/ma_04_02/ma_04_02_19.vscml.html Hier] sind die Überlegungen nochmals zusammengefasst.

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