Asymptoten bei rationalen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:<br>
 
Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:<br>
 
* Ist z < n, dann ist für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die x-Achse <math> y = 0</math> Asymptote.
 
* Ist z < n, dann ist für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die x-Achse <math> y = 0</math> Asymptote.
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* Ist z = n, und ist a_n der Koeffizient von x^n im Zählerpolynom und b_n der Koeffizient von x^n im Nennerpolynom, dann ist für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die Gerade <math>y = \frac{a_n}{b_n}</math> Asymptote.
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* Ist z = n und ist <math>a_n </math> der Koeffizient von <math>x^n</math> im Zählerpolynom und <math>b_n</math> der Koeffizient von <math>x^n</math> im Nennerpolynom, dann ist für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die Gerade <math>y = \frac{a_n}{b_n}</math> Asymptote.
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* Ist z = n+1,dann kann man mittels Polynomdivision den Bruch in einen linearen Term <math>mx+t</math> und einen Restbruch umwandeln. Der lineare Term <math>y = mx+t</math> gibt die Asymptote an.
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* Ist z = n+1,dann kann man mittels [http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/sfs0001.htm Polynomdivision] den Bruch in einen linearen Term <math>mx+t</math> und einen Restbruch umwandeln. Der lineare Term <math>y = mx+t</math> gibt die Asymptote an.
 
* Ist z > n+1, dann hat der Graph von <math>f</math> eine asymptotische Kurve.
 
* Ist z > n+1, dann hat der Graph von <math>f</math> eine asymptotische Kurve.
 
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Aktuelle Version vom 4. Oktober 2012, 14:38 Uhr

Nuvola apps kig.png   Merke

Eine Gerade y = mx + t heißt Asymptote für x \rightarrow \infty zum Graph der Funktion f, wenn \lim_{x \to \infty}[f(x)-(mx+t)]=0 ist.

Anschaulich kann man es sich so vorstellen, dass der Graph und die Gerade für x \rightarrow \infty beliebig nahe kommen ohne sich zu schneiden.

Wir betrachten nun Asymptoten für gebrochen rationale Funktionen f:x \rightarrow \frac{a_n x^n+...+a_0}{b_m x^m + ... + b_0} im maximalen Definitionsbereich.

30px   Aufgabe

Wir betrachten im folgenden Applet die Funktion f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3} für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.

Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?



Nuvola apps kig.png   Merke

Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:

  • Ist z < n, dann ist für x \rightarrow \pm \infty die x-Achse y = 0 Asymptote.
  • Ist z = n und ist a_n der Koeffizient von x^n im Zählerpolynom und b_n der Koeffizient von x^n im Nennerpolynom, dann ist für x \rightarrow \pm \infty die Gerade y = \frac{a_n}{b_n} Asymptote.
  • Ist z = n+1,dann kann man mittels Polynomdivision den Bruch in einen linearen Term mx+t und einen Restbruch umwandeln. Der lineare Term y = mx+t gibt die Asymptote an.
  • Ist z > n+1, dann hat der Graph von f eine asymptotische Kurve.

Im folgenden Applet ist eine ähnliche Funktionenschar wie oben dargestellt: f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^2} für n = 1, 2, 3, 4. Der Grad des Nennerpolynoms ist diesmal 2.
n lässt sich wieder mit dem Schieberegler variieren.

Da das Nennerpolynom Grad 2 hat sieht man für n = 4 die asymptotische Parabel, an die sich der Graph für x \rightarrow \pm \infty annähert.

Hier sind die Überlegungen nochmals zusammengefasst.
Zusammenfassung mit Beispielen:

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