Binomische Formeln: Unterschied zwischen den Versionen
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'''Tipp:''' Schaut in die binomische Formel und macht euch klar, was a und b ist. Und dann setzt ihr für a und b die Zahlen oder Buchstaben ein. Vergleicht die Formel mit dem was oben steht, dann sollte es klar sein! | '''Tipp:''' Schaut in die binomische Formel und macht euch klar, was a und b ist. Und dann setzt ihr für a und b die Zahlen oder Buchstaben ein. Vergleicht die Formel mit dem was oben steht, dann sollte es klar sein! | ||
| − | zur 1. binomischen Formel: Zuerst verwandeln wir ein Quadrat in eine Summe.<br> | + | '''zur 1. binomischen Formel:''' Zuerst verwandeln wir ein Quadrat in eine Summe.<br> |
<math>(2+x)^2 = 4 + 4x +x^2</math><br> | <math>(2+x)^2 = 4 + 4x +x^2</math><br> | ||
<math>(x+y)^2 = x^2 + 2xy+y^2</math><br> | <math>(x+y)^2 = x^2 + 2xy+y^2</math><br> | ||
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<math>25x^2+36y^2+60xy=(5x+6y)^2</math> Zuerst den Term in die richtige Reihenfolge bringen! | <math>25x^2+36y^2+60xy=(5x+6y)^2</math> Zuerst den Term in die richtige Reihenfolge bringen! | ||
| − | zur 2. binomischen Formel: Zuerst verwandeln wir wieder ein Quadrat in eine Summe.<br> | + | '''zur 2. binomischen Formel:''' Zuerst verwandeln wir wieder ein Quadrat in eine Summe.<br> |
<math>(2-x)^2 = 4 - 4x +x^2</math><br> | <math>(2-x)^2 = 4 - 4x +x^2</math><br> | ||
<math>(x-y)^2 = x^2 - 2xy+y^2</math><br> | <math>(x-y)^2 = x^2 - 2xy+y^2</math><br> | ||
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<math>0,25x^2-2x-4=(0,5x - 2)^2</math><br> | <math>0,25x^2-2x-4=(0,5x - 2)^2</math><br> | ||
| − | zur 3. binomischen Formel: Zuerst verwandeln wir ein Produkt in eine Differenz.<br> | + | '''zur 3. binomischen Formel:''' Zuerst verwandeln wir ein Produkt in eine Differenz.<br> |
<math>(1+x)(1-x)=1^2-x^2=1-x^2</math><br> | <math>(1+x)(1-x)=1^2-x^2=1-x^2</math><br> | ||
<math>(2x+5)(2x-5)=4x^2-25</math><br> | <math>(2x+5)(2x-5)=4x^2-25</math><br> | ||
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<math>4x^2-22xy+36y^2</math> lässt sich durch eine binomische Formel '''nicht''' in ein Produkt umwandeln! | <math>4x^2-22xy+36y^2</math> lässt sich durch eine binomische Formel '''nicht''' in ein Produkt umwandeln! | ||
Das gemische Glied müsste <math>24xy</math> lauten, denn es ist <math>4x^2+24xy+36y^2=(2x+6y)(2x-6y)</math>. | Das gemische Glied müsste <math>24xy</math> lauten, denn es ist <math>4x^2+24xy+36y^2=(2x+6y)(2x-6y)</math>. | ||
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Version vom 7. Mai 2015, 17:48 Uhr
Die binomischen Formeln erleichtern einem Termumformungen, sowohl von Summe in Produkt, als auch umgekehrt Produkt in Summe. Eigentlich braucht man sie nicht unbedingt. Wer sich mit dem Rechnen rund um Klammern gut auskennt kommt leicht ohne sie aus. Für alle anderen erleichtern die binomischen Formeln das Umformen und damit das Leben. Sie stellen eine Abkürzung da und wer geht nicht gerne einen leichteren Weg. Man muss sie allerdings einmal lernen.
 Merke
Die drei binomische Formeln lauten: 1. binomische Formel: 2. binomische Formel: 3. binomische Formel: |
Alle drei binomischen Formeln lassen sich durch Termumformung leicht herleiten:
1. binomische Formel: 
2. binomische Formel: 
3. binomische Formel: 
Für das Zahlenrechnen gelten sie natürlich auch, sind aber eher uninteressant. Es ist 
was sich natürlich leichter durch 
berechnet.
Kommen Buchstaben vor, dann erleichtern die binomischen Formeln das Leben!
Beispiele
Tipp: Schaut in die binomische Formel und macht euch klar, was a und b ist. Und dann setzt ihr für a und b die Zahlen oder Buchstaben ein. Vergleicht die Formel mit dem was oben steht, dann sollte es klar sein!
zur 1. binomischen Formel: Zuerst verwandeln wir ein Quadrat in eine Summe.
Natürlich geht es auch umgekehrt.
Zuerst den Term in die richtige Reihenfolge bringen!
zur 2. binomischen Formel: Zuerst verwandeln wir wieder ein Quadrat in eine Summe.
Und nun verwandeln wir eine Summe in ein Quadrat.
Auch hier wieder zuerst den Term in die richtige Reihenfolge bringen!
zur 3. binomischen Formel: Zuerst verwandeln wir ein Produkt in eine Differenz.
Eine Differenz aus Quadraten lässt sich einfach in ein Produkt verwandeln:
Das Faktorisieren wird hier nochmals ausführlich erklärt.
Eine häufige Fehlerquelle ist das mittlere Glied.
lässt sich durch eine binomische Formel nicht in ein Produkt umwandeln!
Das gemische Glied müsste 
lauten, denn es ist 
.
Aufgaben
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