Diskussion:M11 Skalarprodukt

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Buch S. 112 / 10
Die Vektoren \vec a und \vec b stehen senkrecht aufeinander, d.h. \vec a \circ \vec b = 0.
a) (\vec a + \vec b)^2 =\vec a^2 + 2\vec a \circ \vec b + \vec b^2=|\vec a|^2 + |\vec b|^2=25+144=169
b) (\vec a + \vec b) \circ (2\vec a - \vec b)=2\vec a^2-\vec a \circ \vec b+\vec b \circ 2\vec a - \vec b^2= 2 \cdot 25 - 144 =-94
c) Eine Hommage an die binomischen Formeln!
(\vec a + \vec b)^2+(\vec a - \vec b)^2+(\vec a + \vec b)(\vec a -a\vec b) = \vec a^2 + 2 \vec a \circ \vec b + \vec b^2 + \vec a^2 - 2 \vec a \circ \vec b + \vec b^2 + \vec a^2 - \vec b^2= 25 + 144 +25 +144 + 25 -144 = 219


Buch S. 112 / 14
Man weiß aus der Mittelstufe, dass der Flächeninhalt eines Parallelogramms A = gh ist. D.h. fälllt man von der Spitze von \vec b das Lot auf \vec a erhält man die Höhe h.
a steht für a=|\vec a| und b für b=|\vec b|. Es ist dann A = ah und h ist h=b sin\alpha, also A=absin\alpha =ab\sqrt {1-cos\alpha^2} =\sqrt {a^2b^2-a^2b^2cos\alpha^2}=\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2- (\vec a \circ \vec b)^2} q.e.d.
b) A=\sqrt{72\cdot 18 -0}=36 (Beachten Sie, dass \vec a und \vec b senkrecht zueinander sind.
c) \alpha=74,5^o, \beta=60,98^o, \gamma=44,52^o, h_c=\sqrt {13}, A=\frac{3}{2}\sqrt {13}, V=6\sqrt {13}


Buch S. 113 / 16
A(2;0,0), B(0;2;0), C(0;0;2) und S(0;0;0)
a) siehe Definition des Skalarprodukts
b) V_{Kugel}=\frac{32}{3}\pi ,  V_{Pyramide}=\frac{4}{3}. Es ist \frac{V_{Pyramide}}{V_{Kugel}}\approx 0,04=4%