Gebrochen-rationale Funktionen 8: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RSG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 2: Zeile 2:
 
Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt.<br>
 
Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt.<br>
 
Der Wert für x für den der Nenner Null wird heißt Definitionslücke.}}
 
Der Wert für x für den der Nenner Null wird heißt Definitionslücke.}}
 +
 +
Der Graph der indirekten Proportionalität <math>f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> für <math> x \not= 0 </math> ist eine Hyperbel.<br>
 +
Mehr zu Hyperbeln lernst du in diesem Lernpfad kennen
 +
[[Datei:lernpfad.jpg]] [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Hyperbel/index.htm Hyperbeln]
  
 
Im folgenden Applet ist zuerst die Funktion <math> f: x\rightarrow \frac{1}{x}</math> dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter <math>b</math> und <math>c</math> verändern. <math>b</math> ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als <math> x-b</math> hinzugefügt wird, <math>c</math> wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion <math> f: x\rightarrow \frac{1}{x-b}+c</math> betrachten kannst.  
 
Im folgenden Applet ist zuerst die Funktion <math> f: x\rightarrow \frac{1}{x}</math> dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter <math>b</math> und <math>c</math> verändern. <math>b</math> ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als <math> x-b</math> hinzugefügt wird, <math>c</math> wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion <math> f: x\rightarrow \frac{1}{x-b}+c</math> betrachten kannst.  
Zeile 24: Zeile 28:
 
2. Die x-Achse wird um c in y-Richtung verschoben. Die Gerade y = c ist, da sich die Hyperbeläste für große x an sie annähern, Asymptote für <math> x \rightarrow \pm\infty</math>.<br>
 
2. Die x-Achse wird um c in y-Richtung verschoben. Die Gerade y = c ist, da sich die Hyperbeläste für große x an sie annähern, Asymptote für <math> x \rightarrow \pm\infty</math>.<br>
 
Die Gerade y = c ist waagrechte Asymptote.<br>}}
 
Die Gerade y = c ist waagrechte Asymptote.<br>}}
 +
 +
{{Merke|
 +
Eine Gerade heißt Asymptote zur Funktion f, wenn der Graph der Funktion f der Geraden beliebig nahe kommt ohne sie zu schneiden.}}
 +
 +
{{Aufgabe-M|1=
 +
Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion <math>f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3}</math> für  n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.
 +
 +
Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?
 +
}}
 +
<center>
 +
<ggb_applet width="736" height="487"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 +
</center>
 +
 +
{{Lösung versteckt| 1=
 +
Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:<br>
 +
* Ist z < n, dann ist für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die x-Achse <math> y = 0</math> Asymptote.
 +
* Ist z = n und ist <math>a_n </math> der Koeffizient von <math>x^n</math> im Zählerpolynom und <math>b_n</math> der Koeffizient von <math>x^n</math> im Nennerpolynom, dann ist für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die Gerade <math>y = \frac{a_n}{b_n}</math> Asymptote.
 +
* Ist z = n+1,dann gibt es eine schräge Asymptote.
 +
 +
}}

Version vom 20. April 2016, 07:27 Uhr

Nuvola apps kig.png   Merke

Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt.
Der Wert für x für den der Nenner Null wird heißt Definitionslücke.

Der Graph der indirekten Proportionalität f: x \rightarrow \frac{1}{x} für x \not= 0 ist eine Hyperbel.
Mehr zu Hyperbeln lernst du in diesem Lernpfad kennen Lernpfad.jpg Hyperbeln

Im folgenden Applet ist zuerst die Funktion f: x\rightarrow \frac{1}{x} dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter b und c verändern. b ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als x-b hinzugefügt wird, c wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion f: x\rightarrow \frac{1}{x-b}+c betrachten kannst.

  Stock-brush-2.png   Aufgabe

1. Ändere den Wert von b, indem du am Schieberegler für b ziehst.
Die Gerade x = b ist eingezeichnet.
Was kannst du über die Lage dieser Geraden aussagen?
Welche Bezeichnung hat diese Gerade noch?
2. Ändere den Wert von c, indem du am Schieberegler für c ziehst.
Die Gerade y = c ist eingezeichnet.
Was kannst du über die Lage dieser Geraden aussagen? Wie heißt diese Gerade noch?

1. Die Gerade x = b ist an der Stelle der Defintionslücke x = b. Bei Veränderung von b, ändert sich die Definitionslücke, die Gerade wandert mit.
Die Gerade x = b ist eine senkrechte Asymptote.
2. Die x-Achse wird um c in y-Richtung verschoben. Die Gerade y = c ist, da sich die Hyperbeläste für große x an sie annähern, Asymptote für x \rightarrow \pm\infty.

Die Gerade y = c ist waagrechte Asymptote.
Nuvola apps kig.png   Merke

Eine Gerade heißt Asymptote zur Funktion f, wenn der Graph der Funktion f der Geraden beliebig nahe kommt ohne sie zu schneiden.

  Stock-brush-2.png   Aufgabe

Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3} für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.

Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?

Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:

  • Ist z < n, dann ist für x \rightarrow \pm \infty die x-Achse y = 0 Asymptote.
  • Ist z = n und ist a_n der Koeffizient von x^n im Zählerpolynom und b_n der Koeffizient von x^n im Nennerpolynom, dann ist für x \rightarrow \pm \infty die Gerade y = \frac{a_n}{b_n} Asymptote.
  • Ist z = n+1,dann gibt es eine schräge Asymptote.
Von „http://rsg.zum.de/index.php?title=Gebrochen-rationale_Funktionen_8&oldid=7206“