Gebrochen-rationale Funktionen 8: Unterschied zwischen den Versionen
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Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt.<br> | Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt.<br> | ||
Der Wert für x für den der Nenner Null wird heißt Definitionslücke.}} | Der Wert für x für den der Nenner Null wird heißt Definitionslücke.}} | ||
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Der Graph der indirekten Proportionalität <math>f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> für <math> x \not= 0 </math> ist eine Hyperbel.<br> | Der Graph der indirekten Proportionalität <math>f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> für <math> x \not= 0 </math> ist eine Hyperbel.<br> | ||
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Im folgenden Applet ist zuerst die Funktion <math> f: x\rightarrow \frac{1}{x}</math> dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter <math>b</math> und <math>c</math> verändern. <math>b</math> ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als <math> x-b</math> hinzugefügt wird, <math>c</math> wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion <math> f: x\rightarrow \frac{1}{x-b}+c</math> betrachten kannst. | Im folgenden Applet ist zuerst die Funktion <math> f: x\rightarrow \frac{1}{x}</math> dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter <math>b</math> und <math>c</math> verändern. <math>b</math> ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als <math> x-b</math> hinzugefügt wird, <math>c</math> wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion <math> f: x\rightarrow \frac{1}{x-b}+c</math> betrachten kannst. | ||
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2. Die x-Achse wird um c in y-Richtung verschoben. Die Gerade y = c ist, da sich die Hyperbeläste für große x an sie annähern, Asymptote für <math> x \rightarrow \pm\infty</math>.<br> | 2. Die x-Achse wird um c in y-Richtung verschoben. Die Gerade y = c ist, da sich die Hyperbeläste für große x an sie annähern, Asymptote für <math> x \rightarrow \pm\infty</math>.<br> | ||
Die Gerade y = c ist waagrechte Asymptote.<br>}} | Die Gerade y = c ist waagrechte Asymptote.<br>}} | ||
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Eine Gerade heißt Asymptote zur Funktion f, wenn der Graph der Funktion f der Geraden beliebig nahe kommt ohne sie zu schneiden.}} | Eine Gerade heißt Asymptote zur Funktion f, wenn der Graph der Funktion f der Geraden beliebig nahe kommt ohne sie zu schneiden.}} | ||
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'''Ausblick''' | '''Ausblick''' | ||
Version vom 20. April 2016, 08:27 Uhr
 Merke
Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt. |
Der Graph der indirekten Proportionalität 
für 
ist eine Hyperbel.
Mehr zu Hyperbeln lernst du in diesem Lernpfad kennen:
Hyperbeln
Im folgenden Applet ist zuerst die Funktion dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter 
und 
verändern. ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als 
hinzugefügt wird, wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion 
betrachten kannst.
 Aufgabe
1. Ändere den Wert von b, indem du am Schieberegler für b ziehst. |
1. Die Gerade x = b ist an der Stelle der Defintionslücke x = b. Bei Veränderung von b, ändert sich die Definitionslücke, die Gerade wandert mit.
Die Gerade x = b ist eine senkrechte Asymptote.
2. Die x-Achse wird um c in y-Richtung verschoben. Die Gerade y = c ist, da sich die Hyperbeläste für große x an sie annähern, Asymptote für 
.
| Merke
Eine Gerade heißt Asymptote zur Funktion f, wenn der Graph der Funktion f der Geraden beliebig nahe kommt ohne sie zu schneiden. |
Ausblick
| Aufgabe
Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen? |
für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.
Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:
- Ist z < n, dann ist für die x-Achse
Asymptote.
- Ist z = n und ist
der Koeffizient von 
im Zählerpolynom und 
der Koeffizient von im Nennerpolynom, dann ist für die Gerade 
Asymptote.
- Ist z = n+1,dann gibt es eine schräge Asymptote.
