Gebrochen-rationale Funktionen 8

Merke Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt. Der Wert für x für den der Nenner Null wird heißt Definitionslücke.

Die Funktion der indirekten Proportionalität $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ für $x \not= 0$ ist die einfachste gebrochen-rationale Funktion.
Ihr Graph ist eine Hyperbel und besteht aus zwei Hyperbelästen.

  Aufgabe

Bearbeite diesen Hyperbeln
Beantworte die Fragen:
a)

Im folgenden Applet ist zuerst die Funktion $f: x\rightarrow \frac{1}{x}$ dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter $b$ und $c$ verändern. $b$ ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als $x-b$ hinzugefügt wird, $c$ wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion $f: x\rightarrow \frac{1}{x-b}+c$ betrachten kannst.

Aufgabe 1. Ändere den Wert von b, indem du am Schieberegler für b ziehst. Die Gerade x = b ist eingezeichnet. Was kannst du über die Lage dieser Geraden aussagen? Welche Bezeichnung hat diese Gerade noch? 2. Ändere den Wert von c, indem du am Schieberegler für c ziehst. Die Gerade y = c ist eingezeichnet. Was kannst du über die Lage dieser Geraden aussagen? Wie heißt diese Gerade noch?

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1. Die Gerade x = b ist an der Stelle der Defintionslücke x = b. Bei Veränderung von b, ändert sich die Definitionslücke, die Gerade wandert mit.
Die Gerade x = b ist eine senkrechte Asymptote.
2. Die x-Achse wird um c in y-Richtung verschoben. Die Gerade y = c ist, da sich die Hyperbeläste für große x an sie annähern, Asymptote für $x \rightarrow \pm\infty$.

Die Gerade y = c ist waagrechte Asymptote.

Merke Eine Gerade heißt Asymptote zur Funktion f, wenn der Graph der Funktion f der Geraden beliebig nahe kommt ohne sie zu schneiden.

Ausblick

Aufgabe Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion $f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3}$ für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern. Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?

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Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:

• Ist z < n, dann ist für $x \rightarrow \pm \infty$ die x-Achse $y = 0$ Asymptote.
• Ist z = n und ist $a_n$ der Koeffizient von $x^n$ im Zählerpolynom und $b_n$ der Koeffizient von $x^n$ im Nennerpolynom, dann ist für $x \rightarrow \pm \infty$ die Gerade $y = \frac{a_n}{b_n}$ Asymptote.
• Ist z = n+1,dann gibt es eine schräge Asymptote.