Gebrochen-rationale Funktionen 8

Merke Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt. Der Wert für x für den der Nenner Null wird heißt Definitionslücke.

Die Funktion der indirekten Proportionalität $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ für $x \not= 0$ ist die einfachste gebrochen-rationale Funktion.
Ihr Graph ist eine Hyperbel und besteht aus zwei Hyperbelästen.

Die x-Achse ist eine waagrechte Asymptote, die y-Achse eine senkrechte Asymptote.

Merke Eine Gerade heißt Asymptote zum Funktionsgraf Gf, wenn sich der Funktionsgraph beliebig nahe an die Gerade annähert ohne sie zu berühren.

  Aufgabe

Bearbeite diesen Hyperbeln

Im folgenden Applet ist zuerst die Funktion $f: x\rightarrow \frac{1}{x}$ dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter $b$ und $c$ verändern. $b$ ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als $x-b$ hinzugefügt wird, $c$ wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion $f: x\rightarrow \frac{1}{x-b}+c$ betrachten kannst.

Aufgabe 1. Ändere den Wert von b, indem du am Schieberegler für b ziehst. Die Gerade x = b ist eingezeichnet. Was kannst du über die Lage dieser Geraden aussagen? Welche Bezeichnung hat diese Gerade noch? 2. Ändere den Wert von c, indem du am Schieberegler für c ziehst. Die Gerade y = c ist eingezeichnet. Was kannst du über die Lage dieser Geraden aussagen? Wie heißt diese Gerade noch?

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1. Die Gerade x = b ist an der Stelle der Defintionslücke x = b. Bei Veränderung von b, ändert sich die Definitionslücke, die Gerade wandert mit.
Die Gerade x = b ist eine senkrechte Asymptote.
2. Die x-Achse wird um c in y-Richtung verschoben. Die Gerade y = c ist, da sich die Hyperbeläste für große x an sie annähern, Asymptote für $x \rightarrow \pm\infty$.

Die Gerade y = c ist waagrechte Asymptote.

Merke Eine Gerade heißt Asymptote zur Funktion f, wenn der Graph der Funktion f der Geraden beliebig nahe kommt ohne sie zu schneiden.

Ausblick

Aufgabe Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion $f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3}$ für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern. Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?

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Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:

• Ist z < n, dann ist für $x \rightarrow \pm \infty$ die x-Achse $y = 0$ Asymptote.
• Ist z = n und ist $a_n$ der Koeffizient von $x^n$ im Zählerpolynom und $b_n$ der Koeffizient von $x^n$ im Nennerpolynom, dann ist für $x \rightarrow \pm \infty$ die Gerade $y = \frac{a_n}{b_n}$ Asymptote.
• Ist z = n+1,dann gibt es eine schräge Asymptote.