Gebrochen-rationale Funktionen 8

Merke Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt. Der Wert für x für den der Nenner Null wird heißt Definitionslücke.

Beispiele für Funktionsterme gebrochen-rationaler Funktionen sind $\frac{1}{x}, \frac{1}{x-1}, \frac{x}{x+1}, \frac{2x}{4-x}, \frac{1}{x^2}, \frac{x}{x+x^2}, \frac{2x-1}{x} ...$.

Im Nenner eines Bruches darf nie 0 stehen. Deshalb muss man diese Wert aus der Grundmenge Q (Menge der rationalen Zahlen) herausnehmen. Alle Zahlen, die man in den Term einsetzen darf stehen auch bei gebrochen-rationalen Funktionen in der Definitionsmenge D.

  Aufgabe

Gib für obigen Beispielsterme jeweils die Definitionsmenge an.

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Um die Definitionslücke zu finden musst du den Nenner gleich 0 setzen und diese Gleichung lösen. Die erhaltenen Zahlen sind aus der Grundmenge Q zu entfernen.
$\frac{1}{x}$ hat D = Q\{0},
$\frac{1}{x-1}$ hat D = Q \{1},
$\frac{x}{x+1}$ hat D = Q\{-1},
$\frac{2x}{4-x}$ hat D = Q\{4},
$\frac{1}{x^2}$ hat D = Q\{0},
$\frac{x}{x+x^2}$ hat D = Q\{-1;1},

$\frac{2x-1}{x}$ hat D = Q\{0}

Die Funktion der indirekten Proportionalität $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ für $x \not= 0$ ist die einfachste gebrochen-rationale Funktion.
Ihr Graph ist eine Hyperbel und besteht aus zwei Hyperbelästen.

An der Stelle x = 0 ist die Funktion nicht definiert. Ihr Graph nähert sich der y-Achse (x = 0) beliebig nahe an. Die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote. Betrachtet man die Funktion für sehr große x, d.h. $x \rightarrow \infty$ oder sehr kleine x, d.h. $x \rightarrow -\infty$ dann nähert sich der Graph beliebig nahe an die x-Achsse an. Die x-Achse ist eine waagrechte Asymptote.

Merke Eine Gerade heißt Asymptote zum Funktionsgraf Gf, wenn sich der Funktionsgraph beliebig nahe an die Gerade annähert ohne sie zu berühren.

  Aufgabe

a) Bearbeite die Aufgabe S. 113/3.
Benenne für den Graph 2 die Asymptoten.

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a) Hier sind viele lineare Funktionen dabei. Die musst du richtig herausfinden. Desweiteren ist Graph 2 eine Hyperbel und Graph 4 eine Parabel.
Den Geraden kannst du leicht die richtigen Funktionsgleichungen zuordnen:
Graph 1 und Gleichung II, Graph 3 und Gleichung V, Graph 5 und Gleichung I, Graph 6 und Term VI.
Die Hyperbel (Graph 2) gehört zu einer Bruchgleichung, also Gleichung IV.
Dann bleibt für die Parabel (Graph 4) nur die Gleichung III.

b) Die y-Achse (x=0) ist senkrechte Asymptote, die x-Achsse (y=0) ist waagrechte Asymptote, da sich jeweils der Graph beliebig nahe annähert, ohne die Achsen zu erreichen.

  Aufgabe

a) Gib für diedie Funktion $f: x \rightarrow \frac{2}{x}$ die Definitionsmenge an und zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle den Graphen.
b) Gib jeweils die Gleichung der waagrechten und senkrechten Asymptote an und trage sie farbig in dein Diagramm ein.

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Im Nenner steht der Term x. Dieser nimmt für x=0 den Wert 0 an, also darf man 0 nicht in den Term $\frac{2}{x}$ einsetzen. x=0 ist Definitionslücke und D = Q\{0}.
Wertetabelle:

Für x = 0 ist der Term nicht definiert, also taucht 0 auch nicht in der Wertetabelle auf. Falls du 0 in der Wertetabelle hast, dann schreibe beim zugehörigen y-Wert n.d. für nicht definiert. Graph

b) y = 0 (x-Achse) ist waagrechte Asymptote, x = 0 (y-Achse) ist senkrechte Asymptote. Der Graph nähert sich den Koordinatenachsen beliebig nahe an ohne sie zu erreichen.

  Aufgabe

Bearbeite diesen Hyperbeln

Im folgenden Applet ist zuerst die Funktion $f: x\rightarrow \frac{1}{x}$ dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter $b$ und $c$ verändern. $b$ ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als $x-b$ hinzugefügt wird, $c$ wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion $f: x\rightarrow \frac{1}{x-b}+c$ betrachten kannst.

Aufgabe 1. Ändere den Wert von b, indem du am Schieberegler für b ziehst. Die Gerade x = b ist eingezeichnet. Was kannst du über die Lage dieser Geraden aussagen? Welche Bezeichnung hat diese Gerade noch? 2. Ändere den Wert von c, indem du am Schieberegler für c ziehst. Die Gerade y = c ist eingezeichnet. Was kannst du über die Lage dieser Geraden aussagen? Wie heißt diese Gerade noch?

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1. Die Gerade x = b ist an der Stelle der Defintionslücke x = b. Bei Veränderung von b, ändert sich die Definitionslücke, die Gerade wandert mit.
Die Gerade x = b ist eine senkrechte Asymptote.
2. Die x-Achse wird um c in y-Richtung verschoben. Die Gerade y = c ist, da sich die Hyperbeläste für große x an sie annähern, Asymptote für $x \rightarrow \pm\infty$.

Die Gerade y = c ist waagrechte Asymptote.

Ausblick

Aufgabe Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion $f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3}$ für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern. Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?

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Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:

• Ist z < n, dann ist für $x \rightarrow \pm \infty$ die x-Achse $y = 0$ Asymptote.
• Ist z = n und ist $a_n$ der Koeffizient von $x^n$ im Zählerpolynom und $b_n$ der Koeffizient von $x^n$ im Nennerpolynom, dann ist für $x \rightarrow \pm \infty$ die Gerade $y = \frac{a_n}{b_n}$ Asymptote.
• Ist z = n+1,dann gibt es eine schräge Asymptote.