M10 Der Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen

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Doch was macht man, wenn die Gleichung <math>2^x = 5 </math> lautet?  
 
Doch was macht man, wenn die Gleichung <math>2^x = 5 </math> lautet?  
  
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Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung <math>x^2 = 4</math> hat die Lösungen <matsh>x_1 = -2</math> und <math>x_2=2</math>. Für die Gleichung <math>x^2 = 5</math> hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln und die Gleichung hatte die Lösungen <math>x_ = -\sqrt 5, x_2 = \sqrt 5</math>.
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Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung <math>x^2 = 4</math> hat die Lösungen <math>x_1 = -2</math> und <math>x_2=2</math>. Für die Gleichung <math>x^2 = 5</math> hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen <math>x_1 = -\sqrt 5, x_2 = \sqrt 5</math>.
  
 
Für die Gleichung <math>2^x = 5 </math> muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.
 
Für die Gleichung <math>2^x = 5 </math> muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.

Version vom 22. März 2021, 08:15 Uhr

Die Gleichung 2^x = 4 ist ganz leicht zu lösen. Man erhält x = 2. Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
2^x = 1024 hat die Lösung x = 10,
5^x = 625 hat die Lösung x = 4,
3^x = 243 hat die Lösung x = 5.

Doch was macht man, wenn die Gleichung 2^x = 5 lautet?

Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung x^2 = 4 hat die Lösungen x_1 = -2 und x_2=2. Für die Gleichung x^2 = 5 hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen x_1 = -\sqrt 5, x_2 = \sqrt 5.

Für die Gleichung 2^x = 5 muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.


Maehnrot.jpg
Merke:

Die Gleichung a^x = p mit a \in R+ und p > 0 hat die Lösung x = log_a (p).

Man spricht für x = log_a (p): "x ist der Logarithmus von p zur Basis a"


Beispiele: 2^x = 4 hat die Lösung x = log_2(4) = 2
3^x = 243 hat die Lösung x = =log_3(243)=5
10^x = 5 hat die Lösung x = log_{10}(5)
2^x = 19 hat die Lösung x = log_2[18)

Maehnrot.jpg
Merke:

Es ist log_a(a^r) = r

log_a(1) = 0

Rechengesetze des Logarithmus

log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)

log_a(\frac{p}{q})=log_a(p) - log_a(q)

log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)

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