M10 Der Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>10^x = 5</math> hat die Lösung <math> x = log_{10}(5)</math><br>
 
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<math>2^x = 19 </math> hat die Lösung <math>x = log_2[18)</math>
 
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Rechengesetze des Logarithmus
 
Rechengesetze des Logarithmus
  
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<math>log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)</math>
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Logarithmus eines Produkts: <math>log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)</math>
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Logarithmus einer Potenz: <math>log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)</math> }}
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Zur Begründung der Rechenregeln:<br>
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1. <math>log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)</math> erhält man durch folgende Überlegung:<br>
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<math>p = b^x</math> und <math>q = b^y</math>. Dann ist <math>p\cdot q = b^x \cdot b^y = b^{x+y}</math>, also <math>x + y = log_b(p\cdot q)</math>.<br>
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Da <math>x = log_b (p)</math> und <math>y = log_b(q)</math> ist erhält man <math>log_b(p)+log_b(q)=x+y=log_b(p\cdot q)</math>.
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2. <math>log_a(\frac{p}{q}) = log_a(p) - log_a(q)</math> erhält man durch folgende Überlegung:<br>
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<math>p = b^x</math> und <math>q = b^y</math>. Dann ist <math>p : q = b^x : b^y = b^{x-y}</math>, also <math>x - y = log_b(p : q)</math>.<br>
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Da <math>x = log_b (p)</math> und <math>y = log_b(q)</math> ist erhält man <math>log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q})</math>.
  
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<math>log_a(\frac{p}{q})=log_a(p) - log_a(q)</math>
 
  
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<math>log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)</math> }}
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{{Merksatz|MERK=Basiswechsel: <math> log_a(p) = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}</math> }}

Version vom 22. März 2021, 08:36 Uhr

Die Gleichung 2^x = 4 ist ganz leicht zu lösen. Man erhält x = 2. Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
2^x = 1024 hat die Lösung x = 10,
5^x = 625 hat die Lösung x = 4,
3^x = 243 hat die Lösung x = 5.

Doch was macht man, wenn die Gleichung 2^x = 5 lautet?

Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung x^2 = 4 hat die Lösungen x_1 = -2 und x_2=2. Für die Gleichung x^2 = 5 hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen x_1 = -\sqrt 5, x_2 = \sqrt 5.

Für die Gleichung 2^x = 5 muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.


Maehnrot.jpg
Merke:

Die Gleichung a^x = p mit a \in R+ und p > 0 hat die Lösung x = log_a (p).

Man spricht für x = log_a (p): "x ist der Logarithmus von p zur Basis a"


Beispiele: 2^x = 4 hat die Lösung x = log_2(4) = 2
3^x = 243 hat die Lösung x = =log_3(243)=5
10^x = 5 hat die Lösung x = log_{10}(5)
2^x = 19 hat die Lösung x = log_2[18)


Maehnrot.jpg
Merke:

Es ist log_a(a^r) = r

log_a(1) = 0

Rechengesetze des Logarithmus

Logarithmus eines Produkts: log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)

Logarithmus eines Quotienten: log_a(\frac{p}{q})=log_a(p) - log_a(q)

Logarithmus einer Potenz: log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)

Zur Begründung der Rechenregeln:
1. log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q) erhält man durch folgende Überlegung:
p = b^x und q = b^y. Dann ist p\cdot q = b^x \cdot b^y = b^{x+y}, also x + y = log_b(p\cdot q).
Da x = log_b (p) und y = log_b(q) ist erhält man log_b(p)+log_b(q)=x+y=log_b(p\cdot q).

2. log_a(\frac{p}{q}) = log_a(p) - log_a(q) erhält man durch folgende Überlegung:
p = b^x und q = b^y. Dann ist p : q = b^x : b^y = b^{x-y}, also x - y = log_b(p : q).
Da x = log_b (p) und y = log_b(q) ist erhält man log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q}).


Maehnrot.jpg
Merke:

Basiswechsel: log_a(p) = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}

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