M10 Der Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen
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i) <math>\frac{9}{2}</math>; k) 0,5; l) <math>\frac{3}{2}</math>; m) <math>-\frac{3}{2}</math>; o) 2; p) -6; q) 0 }} | i) <math>\frac{9}{2}</math>; k) 0,5; l) <math>\frac{3}{2}</math>; m) <math>-\frac{3}{2}</math>; o) 2; p) -6; q) 0 }} | ||
+ | {{Aufgaben-blau|3|2=Logarithmiere<br> | ||
+ | a) <math>log_a(a^3)</math><br> | ||
+ | b) <math>log_a(a^5)</math><br> | ||
+ | c) <math>log_a(1)</math><br> | ||
+ | d) <math>log_a(\frac{1}{a^2})</math><br> | ||
+ | e) <math>log_a(\frac{1}{a})</math><br> | ||
+ | f) <math>log_a(a)</math><br> | ||
+ | g) <math>log_a(\sqrt a)</math><br> | ||
+ | h) <math>log_a(\sqrt[5]{a})</math><br> | ||
+ | i) <math>log_a(\sqrt[4]{a^3})</math><br> | ||
+ | k) <math>log_a(\frac{1}{\sqrt a})</math><br> }} | ||
+ | {{Lösung versteckt|1=a) <math>log_a(a^3)= 3</math><br> | ||
+ | b) <math>log_a(a^5)= 5</math><br> | ||
+ | c) <math>log_a(1)= 0</math><br> | ||
+ | d) <math>log_a(\frac{1}{a^2})= -2</math><br> | ||
+ | e) <math>log_a(\frac{1}{a})= -1</math><br> | ||
+ | f) <math>log_a(a)=1</math><br> | ||
+ | g) <math>log_a(\sqrt a)=\frac{1}{2}</math><br> | ||
+ | h) <math>log_a(\sqrt[5]{a})=\frac{1}{5}</math><br> | ||
+ | i) <math>log_a(\sqrt[4]{a^3})=\frac{3}{4}</math><br> | ||
+ | k) <math>log_a(\frac{1}{\sqrt a})=-\frac{1}{2}</math><br> }} | ||
Version vom 22. März 2021, 17:24 Uhr
Die Gleichung ist ganz leicht zu lösen. Man erhält . Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
hat die Lösung ,
hat die Lösung ,
hat die Lösung .
Doch was macht man, wenn die Gleichung lautet?
Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung hat die Lösungen und . Für die Gleichung hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen .
Für die Gleichung muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.
Merke:
Die Gleichung mit a R+ und p > 0 hat die Lösung . Man spricht für : "x ist der Logarithmus von p zur Basis a" |
Beispiele: hat die Lösung
hat die Lösung
hat die Lösung
hat die Lösung
1a)
b)
c)
d)
e)
f)
2a)
b)
c)
d)
Merke:
Es ist
|
Stelle eventuell die passende Exponentialgleichung auf!
Für log2(32) lautet die Exponentialgleichung , also x = 5
1a) 5; b) 10; c) 5; d) 1; e) 4; f) 0; g) -1; h) -3; i) -2; k) -1; l) -2; m) -3
n) -1; o) -1; p) -3; q) 2; r) 0; s) 2; t) 1; u) -1; v) 2; w) 0; x) -1; y) -2
2a) 0,5; b) 0,5; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ;;
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Merke:
Rechengesetze des Logarithmus Logarithmus eines Produkts: Logarithmus eines Quotienten: Logarithmus einer Potenz: |
Zur Begründung der Rechenregeln:
1. erhält man durch folgende Überlegung:
und . Dann ist , also .
Da und ist erhält man .
2. erhält man durch folgende Überlegung:
und . Dann ist , also .
Da und ist erhält man .
Beispiele:1.
2.
3.
Für schreibt man Für schreibt man , wenn e die Eulersche Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 ... ist. Diese beiden Symbole findest du auch auf dem Taschenrechner. |
4.
Nicht verwechseln! |
Merke:
Basiswechsel: |