M10 Der Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen
Zeile 24: | Zeile 24: | ||
<math>10^x = 5</math> hat die Lösung <math> x = log_{10}(5)</math><br> | <math>10^x = 5</math> hat die Lösung <math> x = log_{10}(5)</math><br> | ||
<math>2^x = 19 </math> hat die Lösung <math>x = log_2[18)</math> | <math>2^x = 19 </math> hat die Lösung <math>x = log_2[18)</math> | ||
+ | |||
+ | <center>{{#ev:youtube |iuG7isoQjGc|350}}</center> | ||
{{Aufgaben-blau|1|2=1. Schreibe den Exponenten als Logarithmus<br> | {{Aufgaben-blau|1|2=1. Schreibe den Exponenten als Logarithmus<br> | ||
Zeile 92: | Zeile 94: | ||
i) <math>log_a(\sqrt[4]{a^3})=\frac{3}{4}</math><br> | i) <math>log_a(\sqrt[4]{a^3})=\frac{3}{4}</math><br> | ||
k) <math>log_a(\frac{1}{\sqrt a})=-\frac{1}{2}</math><br> }} | k) <math>log_a(\frac{1}{\sqrt a})=-\frac{1}{2}</math><br> }} | ||
+ | |||
+ | <center>{{#ev:youtube |2vIZNqYHpos|350}}</center> | ||
Zeile 101: | Zeile 105: | ||
Logarithmus einer Potenz: <math>log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)</math> }} | Logarithmus einer Potenz: <math>log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)</math> }} | ||
+ | |||
Zur Begründung der Rechenregeln:<br> | Zur Begründung der Rechenregeln:<br> | ||
Zeile 110: | Zeile 115: | ||
<math>p = b^x</math> und <math>q = b^y</math>. Dann ist <math>p : q = b^x : b^y = b^{x-y}</math>, also <math>x - y = log_b(p : q)</math>.<br> | <math>p = b^x</math> und <math>q = b^y</math>. Dann ist <math>p : q = b^x : b^y = b^{x-y}</math>, also <math>x - y = log_b(p : q)</math>.<br> | ||
Da <math>x = log_b (p)</math> und <math>y = log_b(q)</math> ist erhält man <math>log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q})</math>. | Da <math>x = log_b (p)</math> und <math>y = log_b(q)</math> ist erhält man <math>log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q})</math>. | ||
+ | |||
+ | <center>{{#ev:youtube |gKtM31rf_7s|350}}</center> | ||
'''Beispiele:1. <math>log_3(9a^4)=log_3(9)+log_3(a^4)=log_3(3^2)-4\cdot log_3(a) = 2 + 4log_3(a)</math> | '''Beispiele:1. <math>log_3(9a^4)=log_3(9)+log_3(a^4)=log_3(3^2)-4\cdot log_3(a) = 2 + 4log_3(a)</math> |
Version vom 22. März 2021, 17:34 Uhr
Die Gleichung ist ganz leicht zu lösen. Man erhält . Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
hat die Lösung ,
hat die Lösung ,
hat die Lösung .
Doch was macht man, wenn die Gleichung lautet?
Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung hat die Lösungen und . Für die Gleichung hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen .
Für die Gleichung muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.
Merke:
Die Gleichung mit a R+ und p > 0 hat die Lösung . Man spricht für : "x ist der Logarithmus von p zur Basis a" |
Beispiele: hat die Lösung
hat die Lösung
hat die Lösung
hat die Lösung
1a)
b)
c)
d)
e)
f)
2a)
b)
c)
d)
Merke:
Es ist
|
Stelle eventuell die passende Exponentialgleichung auf!
Für log2(32) lautet die Exponentialgleichung , also x = 5
1a) 5; b) 10; c) 5; d) 1; e) 4; f) 0; g) -1; h) -3; i) -2; k) -1; l) -2; m) -3
n) -1; o) -1; p) -3; q) 2; r) 0; s) 2; t) 1; u) -1; v) 2; w) 0; x) -1; y) -2
2a) 0,5; b) 0,5; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ;;
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Merke:
Rechengesetze des Logarithmus Logarithmus eines Produkts: Logarithmus eines Quotienten: Logarithmus einer Potenz: |
Zur Begründung der Rechenregeln:
1. erhält man durch folgende Überlegung:
und . Dann ist , also .
Da und ist erhält man .
2. erhält man durch folgende Überlegung:
und . Dann ist , also .
Da und ist erhält man .
Beispiele:1.
2.
3.
Für schreibt man Für schreibt man , wenn e die Eulersche Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 ... ist. Diese beiden Symbole findest du auch auf dem Taschenrechner. |
4.
Nicht verwechseln! |
Merke:
Basiswechsel: |