M10 Exponentialgleichungen

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Eine Gleichung, bei der die Unbekannte x nur im Exponenten vorkommt heißt Exponentialgleichung.

Zum Lösen einer Exponentialgleichung bildet man von beiden Seiten den Zehnerlogarithmus und löst diese neue Gleichung
unter Verwendung des Potenzgesetzes für Logarithmen.

Man kann eigentlich jeden Logarithmus zu irgendeiner Basis verwenden. Der Zehnerlogarithmus ist auf Taschenrechnern als Taste dabei und damit leicht verwendbar. Da auf dem Taschenrechner auch eine ln-Taste für den Logarithmus zur Basis e vorhanden ist, könnte man auch den ln nehmen. Allerdings wissen wir noch nichts über die Basis e.


Beispiel: 2 = 1,035^x
Man bildet auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus lg(2)=lg(1,035^x).
Nun wendet man auf der rechten Seite das Potenzgesetz an: log(2)=x\cdot lg(1,035).
Diese Gleichung löst man nach x auf x = \frac{lg(2)}{lg(1,035)}\approx 20,149


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Löse die Exponentialgleichung. Runde gegebenenfalls auf 3 Nachkommastellen.

a) 5\cdot 1,06^x = 15

b) 5\cdot 0,94^x = 2

c) 3^{2x} = 6

d) 2^x\cdot 3^x = 10

e) 2^x\cdot 5^{-x} = 6,25

f) 2^x = 3^{2x}

g) 2^{x-1} = 3

h) 0,25^{1-x}=10,25

i) 10\cdot 25^{x+3} = 2

k) 2^x + 2^3 = 10,25

l) 5\cdot  9^x + \left ( \frac{1}{3} \right ) ^{-2}  = 7

m) 2^x + \left ( \frac{1}{2} \right )^{-x} = 12,5

o) 2^x - 5\left ( \frac{1}{2} \right )^x = 4

a) 5\cdot 1,06^x = 15
lg(5\cdot 1,06^x) = lg(15)
lg(5) + lg(1,06^x) = lg(15)
x\cdot lg(1,06) = lg(15) - lg(5)
x \cdot lg(1,06)=lg(\frac{15}{5})
 x = \frac{lg(3)}{lg(1,06)}\approx 0,452


b) 5\cdot 0,94^x = 2
lg(5\cdot 0,94^x)= lg(2)
lg(5) + x\cdot lg(0,94)=lg(2)
x\cdot lg(0,94)=lg(0,4)
x = \frac{lg((0,4)}{lg(0,94)}\approx 14,809


c) 3^{2x} = 6
lg(3^{2x})=lg(6)
2x \cdot lg(3)=lg(6)
x = \frac{lg(6)}{2\lg(3)}\approx0,815


d) 2^x\cdot 3^x = 10
6^x = 10
lg(6^x) = lg(10)
x = \frac{lg(10)}{lg(6)}\approx 1,285


e) 2^x\cdot 5^{-x} = 6,25
2^x\cdot 0,2^x = 6,25
0,4^x = 6,25
x\cdot lg(0,4)=lg(6,25) x = \frac{lg(6,25)}{lg(0,4}=-2


f) 2^x = 3^{2x}
x\cdot lg(2)=2x\cdot lg(3)
x(lg(2)-2lg(3))=0
 x = 0


g) 2^{x-1} = 3
(x-1)lg(2) = lg(3)
x = \frac{lg(3)}{lg(2)}+1\approx 2,285


h) 0,25^{1-x}=10,25
(1-x)lg(0,25)=lg(10,25)
x = 1-\frac{lg(10,25)}{lg(0,25)}\approx 2,679


i) 10\cdot 25^{x+3} = 2
1+(x+3)lg(25)=lg(2)
x = \frac{lg(2)-1}{lg(25)}-3=-3,5


k) 2^x + 2^3 = 10,25
2^x = 2,25
x \approx 1,170


l) 5\cdot  9^x + \left ( \frac{1}{3} \right ) ^{-2}  = 7
5\cdot 9^x =7-9
5 \cdot 9^x = -1 hat keine Lösung!


m) 2^x + \left ( \frac{1}{2} \right )^{-x} = 12,5
2^x + 2^x = 12,5
2\cdot 2^x = 12,5
2^x = 6,25
x = \frac{lg(6.25)}{lg(2)}\approx 2,644


o) 2^x - 5\left ( \frac{1}{2} \right )^x = 4
(2^x)^2 - 5 = 4\cdot 2^x
(2^x)^2 - 4\cdot 2^x - 5 = 0
Substituiere z = 2^x
z^2 - 4z - 5 = 0
(z+1)(z-5)=0
z_1=-1, z_2 = 5
Zurücksubstituieren:

2^{x_1}=-1 geht nicht!, 2^{x_2}=5 ergibt x=\frac{lg(5)}{lg(2)}\approx 2,322


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Bearbeite die Aufgaben auf diese Seiten:
1. Aufgabe 1.
2. Aufgabe 2.
3. Aufgabe 3.