M10 Grenzwert und Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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f) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty</math> divergiert und  <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = -2</math> konvergiert<br>
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g) Die Funktion divergiert unbestimmt.<br>
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o) Die Funktion divergiert unbestimmt. <br>
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p) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0</math> konvergiert und  <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = 0</math> konvergiert<br>
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a) Ist möglich, da z.B. <math>f_a:x \rightarrow 1 - 2^{-x}</math> stets unter der Geraden y = 1 verläuft.<br>
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b) Ist möglich, da die Funktion <math>f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}</math> oberhalb und unterhalb der Geraden y = 1 verläuft.<br>
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c) Ist falsch, denn wenn der Graph von f stets oberhalb der Gerade y = 1 verläuft und die Funktionswerte mit wachsenden x auch größer werden, dann kann der Grenzwert für <math>x \to \infty</math> nicht 1 sein.<br>
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d) Ist möglich bei der Funktion <math>f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}</math>. <br>
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e) Ist möglich bei der Funktion <math>f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}</math>.<br>
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Muss aber nicht sein, es gibt auch Funktionen, deren Abstand zur Geraden y = 1 erst ab Werten x > 1000  kleiner als 1/100 ist. Z.B. ist für die Funktion <math>f:x \rightarrow 1 + \frac{10}{x}</math> f(100)=1,1 und damit ist der Abstand zur Geraden 0,1 und f(1000)=1,01.<br>
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f) Der Term (-1)<sup>n</sup> nimmt für n = 1, 2, 3, 4, ... die Werte -1, 1, -1, 1, .... an. Die Funktionswerte alternieren stets und der Grenzwert ist nicht bestimmt. Also ist die Aussage falsch.<br>
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g) Diese Funktionswerte nähern sich mit wachsendem n immer mehr der Zahl 1 an, obwohl sie auch hier stets wechselndes Vorzeichen haben.  <br>
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a) <math>f:x \rightarrow 2^{-x}</math> <br>
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b) <math>f:x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math><br>
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c) <math>f:x \rightarrow x^2</math><br>
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d) <math>f:x \rightarrow 2+2^{-x}</math><br>
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e) <math>f:x \rightarrow 2+\frac{1}{x}</math><br>
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f) <math>f:x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math><br>
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g) <math>f:x \rightarrow 1,5x</math><br>
 +
h) <math>f:x \rightarrow -2cos(x)</math>  <br>
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Zum Überprüfen die Funktionsterme in GeoGebra eingeben!  }}

Version vom 12. Mai 2021, 11:20 Uhr

Exponentialfunktionen

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Exponentialfunktion f: x \rightarrow a^x mit a > 0 gilt:

0 < a < 1: \lim_{x \to -\infty} a^x = \infty und \lim_{x \to \infty} a^x = 0 Exp 1.jpg
Die positive x-Achse ist Asymptote für x \to \infty.

1 < a: \lim_{x \to -\infty} a^x = 0\ \ und \lim_{x \to \infty} a^x = \infty \ \ Exp 2.jpg
Die negative x-Achse ist Asymptote für x \to -\infty.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Buch S. 124 / 2
Buch S. 125 / 3

124/2 Man weiß von Exponentialfunktionen f:x\rightarrow a\cdot b^x, dass f(0)=a und f(1)=a\cdot b ist. Wenn a = 1 ist, dann ist f(0)=1, f(1)=b. Damit findet man leicht die Zuordnung Term - Graph.
A - k
B - f
C - m
D - h
E - g

125/3a) \lim_{x\to \infty}= \infty, die Funktion divergiert für x \to \infty
b) Die Funktion konvergiert für x \to \infty, es ist \lim_{x\to \infty}= 2 (?)
c) Die Funktion konvergiert für x \to \infty, es ist \lim_{x\to \infty}= 0
d) Die Funktion konvergiert für x \to \infty, es ist \lim_{x\to \infty}= 3 (?)
e) Die Funktion divergiert unbestimmt für x \to \infty

f) Die Funktion divergiert unbestimmt für x \to \infty


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Buch S. 126 / 6
Buch S. 126 / 7
Buch S. 126 / 8

126/6
a) \lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty divergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = 0 konvergiert
b) \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty divergiert
c) \lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty divergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = -2 konvergiert
d) \lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty divergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = 3 konvergiert
e) \lim_{x \to -\infty}f(x) = 2 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = -\infty divergiert
f) \lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty divergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = -2 konvergiert
g) Die Funktion divergiert unbestimmt.
h) \lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty divergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty divergiert
i) \lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty divergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty divergiert
k) \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = 0 konvergiert
l) \lim_{x \to -\infty}f(x) = 2 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = 2 konvergiert
m) \lim_{x \to -\infty}f(x) = -3 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = -3 konvergiert
n) \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = 0 konvergiert
o) Die Funktion divergiert unbestimmt.
p) \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = 0 konvergiert

126/7
a) Ist möglich, da z.B. f_a:x \rightarrow 1 - 2^{-x} stets unter der Geraden y = 1 verläuft.
126-7a1.jpg
b) Ist möglich, da die Funktion f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x} oberhalb und unterhalb der Geraden y = 1 verläuft.
c) Ist falsch, denn wenn der Graph von f stets oberhalb der Gerade y = 1 verläuft und die Funktionswerte mit wachsenden x auch größer werden, dann kann der Grenzwert für x \to \infty nicht 1 sein.
d) Ist möglich bei der Funktion f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}.
e) Ist möglich bei der Funktion f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}.
Muss aber nicht sein, es gibt auch Funktionen, deren Abstand zur Geraden y = 1 erst ab Werten x > 1000 kleiner als 1/100 ist. Z.B. ist für die Funktion f:x \rightarrow 1 + \frac{10}{x} f(100)=1,1 und damit ist der Abstand zur Geraden 0,1 und f(1000)=1,01.
f) Der Term (-1)n nimmt für n = 1, 2, 3, 4, ... die Werte -1, 1, -1, 1, .... an. Die Funktionswerte alternieren stets und der Grenzwert ist nicht bestimmt. Also ist die Aussage falsch.
g) Diese Funktionswerte nähern sich mit wachsendem n immer mehr der Zahl 1 an, obwohl sie auch hier stets wechselndes Vorzeichen haben.
126-7g.jpg

126/8
a) f:x \rightarrow 2^{-x}
b) f:x \rightarrow \frac{1}{x^2}
c) f:x \rightarrow x^2
d) f:x \rightarrow 2+2^{-x}
e) f:x \rightarrow 2+\frac{1}{x}
f) f:x \rightarrow \frac{1}{x^2}
g) f:x \rightarrow 1,5x
h) f:x \rightarrow -2cos(x)

Zum Überprüfen die Funktionsterme in GeoGebra eingeben!
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