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| − | =Exponentialfunktionen=
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| − | {{Merksatz|MERK=Die Exponentialfunktion <math>f: x \rightarrow a^x</math> mit a > 0 gilt:
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| − | 0 < a < 1: <math>\lim_{x \to -\infty} a^x = \infty</math> und <math>\lim_{x \to \infty} a^x = 0</math> [[Datei:Exp 1.jpg|150px]] <br>
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| − | Die positive x-Achse ist Asymptote für <math>x \to \infty</math>.
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| − | 1 < a: <math>\lim_{x \to -\infty} a^x = 0\ \ </math> und <math>\lim_{x \to \infty} a^x = \infty \ \ </math> [[Datei:Exp 2.jpg|150px]]<br>
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| − | Die negative x-Achse ist Asymptote für <math>x \to -\infty</math>. }}
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| − | {{Aufgaben-blau|1|2=Buch S. 124 / 2<br>
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| − | Buch S. 125 / 3 }}
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| − | {{Lösung versteckt|1=124/2 Man weiß von Exponentialfunktionen <math>f:x\rightarrow a\cdot b^x</math>, dass <math>f(0)=a</math> und <math>f(1)=a\cdot b</math> ist. Wenn a = 1 ist, dann ist <math>f(0)=1, f(1)=b</math>. Damit findet man leicht die Zuordnung Term - Graph. <br>
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| − | A - k<br>
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| − | B - f<br>
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| − | C - m<br>
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| − | D - h<br>
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| − | E - g
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| − | 125/3a) <math>\lim_{x\to \infty}= \infty</math>, die Funktion divergiert für <math>x \to \infty</math><br>
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| − | b) Die Funktion konvergiert für <math>x \to \infty</math>, es ist <math>\lim_{x\to \infty}= 2 </math> (?)<br>
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| − | c) Die Funktion konvergiert für <math>x \to \infty</math>, es ist <math>\lim_{x\to \infty}= 0</math><br>
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| − | d) Die Funktion konvergiert für <math>x \to \infty</math>, es ist <math>\lim_{x\to \infty}= 3 </math> (?)<br>
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| − | e) Die Funktion divergiert unbestimmt für <math>x \to \infty</math><br>
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| − | f) Die Funktion divergiert unbestimmt für <math>x \to \infty</math><br> }}
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| − | {{Aufgaben-blau|2|2=Buch S. 126 / 6<br>
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| − | Buch S. 126 / 7<br>
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| − | Buch S. 126 / 8 }}
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| − | {{Lösung versteckt|1=126/6<br>
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| − | a) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty</math> divergiert und <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = 0</math> konvergiert<br>
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| − | b) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0</math> konvergiert und <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty</math> divergiert<br>
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| − | c) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty</math> divergiert und <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = -2</math> konvergiert<br>
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| − | d) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty</math> divergiert und <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = 3</math> konvergiert<br>
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| − | e) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = 2</math> konvergiert und <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = -\infty</math> divergiert<br>
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| − | f) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty</math> divergiert und <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = -2</math> konvergiert<br>
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| − | g) Die Funktion divergiert unbestimmt.<br>
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| − | h) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty</math> divergiert und <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty</math> divergiert<br>
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| − | i) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty</math> divergiert und <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty</math> divergiert<br>
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| − | k) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0</math> konvergiert und <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = 0</math> konvergiert<br>
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| − | l) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = 2</math> konvergiert und <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = 2</math> konvergiert<br>
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| − | m) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = -3</math> konvergiert und <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = -3</math> konvergiert<br>
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| − | n) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0</math> konvergiert und <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = 0</math> konvergiert<br>
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| − | o) Die Funktion divergiert unbestimmt. <br>
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| − | p) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0</math> konvergiert und <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = 0</math> konvergiert<br>
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| − | 126/7<br>
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| − | a) Ist möglich, da z.B. <math>f_a:x \rightarrow 1 - 2^{-x}</math> stets unter der Geraden y = 1 verläuft.<br>
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| − | [[Datei:126-7a1.jpg|300px]]<br>
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| − | b) Ist möglich, da die Funktion <math>f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}</math> oberhalb und unterhalb der Geraden y = 1 verläuft.<br>
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| − | c) Ist falsch, denn wenn der Graph von f stets oberhalb der Gerade y = 1 verläuft und die Funktionswerte mit wachsenden x auch größer werden, dann kann der Grenzwert für <math>x \to \infty</math> nicht 1 sein.<br>
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| − | d) Ist möglich bei der Funktion <math>f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}</math>. <br>
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| − | e) Ist möglich bei der Funktion <math>f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}</math>.<br>
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| − | Muss aber nicht sein, es gibt auch Funktionen, deren Abstand zur Geraden y = 1 erst ab Werten x > 1000 kleiner als 1/100 ist. Z.B. ist für die Funktion <math>f:x \rightarrow 1 + \frac{10}{x}</math> f(100)=1,1 und damit ist der Abstand zur Geraden 0,1 und f(1000)=1,01.<br>
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| − | f) Der Term (-1)<sup>n</sup> nimmt für n = 1, 2, 3, 4, ... die Werte -1, 1, -1, 1, .... an. Die Funktionswerte alternieren stets und der Grenzwert ist nicht bestimmt. Also ist die Aussage falsch.<br>
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| − | g) Diese Funktionswerte nähern sich mit wachsendem n immer mehr der Zahl 1 an, obwohl sie auch hier stets wechselndes Vorzeichen haben. <br>
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| − | [[Datei:126-7g.jpg|500px]]
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| − | 126/8<br>
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| − | a) <math>f:x \rightarrow 2^{-x}</math> <br>
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| − | b) <math>f:x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math><br>
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| − | c) <math>f:x \rightarrow x^2</math><br>
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| − | d) <math>f:x \rightarrow 2+2^{-x}</math><br>
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| − | e) <math>f:x \rightarrow 2+\frac{1}{x}</math><br>
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| − | f) <math>f:x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math><br>
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| − | g) <math>f:x \rightarrow 1,5x</math><br>
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| − | h) <math>f:x \rightarrow -2cos(x)</math> <br>
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| − | Zum Überprüfen die Funktionsterme in GeoGebra eingeben! }}
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