M10 Grenzwert und Polynomfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 23. Juli 2021, 12:15 Uhr

Wir betrachten zuerste das Verhalten von Potenzfunktionen f mit f(x) = xⁿ, wobei n eine natürliche Zahl ist.

Aufgabe 1

Betätige im folgenden Applet mit dem Schieberegler für n und ändere damit den Exponenten der Potenzfuntkion f mit f(x) = xⁿ. Betrachte bei den zugehörigen Graphen G_f das Verhalten für $x \rightarrow \pm \infty$ .

Merke

Der Grenzwert von allen Potenzfunktionen f mit f(x) = xⁿ ist für $x \rightarrow \infty$ : $\lim_{x\to \infty} x^n = \infty$

Der Grenzwert für $x \rightarrow -\infty$ ist, wenn

n gerade ist: $\lim_{x\to -\infty} = \infty$
n ungerade ist: $\lim_{x\to -\infty} = -\infty$

Merke:

Ein Term a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ mit reellen Zahlen a_n, a_n-1, ... , a₁, a₀ und a_n $\neq$ 0 ist ein Polynom vom Grad n.
a_n, a_n-1, ... , a₁, a₀ sind die Koeffizienten.
n, n-1, ..., 2 sind die Exponenten. Der größte Exponent n ist der Grad des Polynoms.

Ordnet man jeder reellen Zahl x den Polynomwert a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ zu, so erhält man eine Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion.

Beispiel: $f(x) = -2x^4 + \frac{1}{3}x^3 + x - 52$

Der Grad von f(x) ist 4, da die höchste x-Potenz x⁴ ist.
Die Koeffizienten sind a₄ = -2, a₃ = $\frac{1}{3}$ , a₁ = 1, a₀ = -52.
Da im Polynom kein Summand mit x² vorkommt ist a₂ = 0, was man nicht extra notiert.

Merke:

Der Grenzwert von Polynomfunktionen f vom Grad n wird durch die höchste x-Potenz xⁿ bestimmt.

Bei den Polynomfunktionen geraden Grade ist das Vorzeichen der beiden Grenzwerte für $x \rightarrow -\infty$ und $x \rightarrow \infty$ gleich, bei ungeradem Grad verschieden.

Ihr Koeffizient a_n bestimmt dann das Vorzeichen der Grenzwerte.

Im folgenden Applet ist der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades f mit f(x) = ax³ - 2x² + x + 1 dargestellt. Mit dem Schieberegler kann man den Wert von a von +1 auf -1 ändern.

Zur Begründung, dass der Koeffizient a_n der größten x-Potenz xⁿ den Grenzwert festlegt:

Es ist $f(x) = ax^3 - 2x^2 +x+1=x^3(a-2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3})$ . Die Brüche in der Klammer gehen alle für $x \rightarrow \pm \infty$ gegen 0. Es ist also $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty } x^3(a -2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}) = \lim_{x \to \pm \infty} ax^3 = a \cdot \lim_{x \to \pm \infty} x^3$ .
Hier sieht man, dass das Vorzeichen von a den Verlauf von G_f für $x \to \pm \infty$ festlegt.

Aufgabe 2

Bestimme die Grenzwerte von f mit

a) f(x) = 2x² - 3x + 4
b) f(x) = -3x⁷ + 3x⁵ - x
c) f(x) = 3x
d) f(x) = 2x - 17 + 3x⁴

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) Der Grad der Polynomfunktion ist 2,also gerade. Deshalb ist der Grenzwert für $x \to \pm \infty$ in beiden Fällen gleich. Das Vorzeichen des Koeffizienten 2 von x² ist positiv, also ist $\lim_{x \to \pm \infty} x^2 = \infty$

b) Der Grad der Polynomfunktion ist 7, also ungerade. Deshalb ist der Grenzwert für $x \to \infty$ und $x \to -\infty$ jeweils verschieden. Das Vorzeichen des Koeffizienten -3 von x⁷ ist negativ, also ist $\lim_{x \to \infty} f(x) = -\lim_{x \to \infty} x^7 = -\infty$ und $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\lim_{x \to -\infty}x^7 =\infty$

c) Der Grad der Polynomfunktion ist 1, also ungerade. Deshalb ist der Grenzwert für $x \to \infty$ und $x \to -\infty$ jeweils verschieden. Das Vorzeichen des Koeffizienten 1 von x ist positiv, also ist $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} x = \infty$ und $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty}x =-\infty$

d) Es ist f(x) = 2x - 17 + 3x⁴ = 3x⁴ + 2x -17, damit ist der Grad der Polynomfunktion 4,also gerade. Deshalb ist der Grenzwert für $x \to \pm \infty$ in beiden Fällen gleich. Das Vorzeichen des Koeffizienten 2 von x² ist positiv, also ist $\lim_{x \to \pm \infty} x^2 = \infty$

Mehr über Polynomfunktionen findest du hier.

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 Es ist <math>f(x) = ax^3 - 2x^2 +x+1=x^3(a-2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3})</math>. Die Brüche in der Klammer gehen alle für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> gegen 0. Es ist also <math>\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty } x^3(a -2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}) = \lim_{x \to \pm \infty} ax^3 = a \cdot \lim_{x \to \pm \infty} x^3</math>.<br>
 Hier sieht man, dass das Vorzeichen von a den Verlauf von G<sub>f</sub> für  <math>x \to \pm \infty</math> festlegt.
+{{Aufgaben-blau|2|2=Bestimme die Grenzwerte von f mit
+a) f(x) = 2x<sup>2</sup> - 3x + 4<br>
+b) f(x) = -3x<sup>7</sup> + 3x<sup>5</sup> - x<br>
+c) f(x) = 3x<br>
+d) f(x) = 2x - 17 + 3x<sup>4</sup> }}
+{{Lösung versteckt|1=a) Der Grad der Polynomfunktion ist 2,also gerade. Deshalb ist der Grenzwert für <math>x \to \pm \infty</math> in beiden Fällen gleich. Das Vorzeichen des Koeffizienten 2 von x<sup>2</sup> ist positiv, also ist <math>\lim_{x \to \pm \infty} x^2 = \infty</math>
+b) Der Grad der Polynomfunktion ist 7, also ungerade. Deshalb ist der Grenzwert für <math>x \to \infty</math> und <math>x \to -\infty</math> jeweils verschieden. Das Vorzeichen des Koeffizienten -3 von x<sup>7</sup> ist negativ, also ist <math>\lim_{x \to \infty} f(x) = -\lim_{x \to \infty} x^7 = -\infty</math> und  <math>\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\lim_{x \to -\infty}x^7 =\infty</math>
+c) Der Grad der Polynomfunktion ist 1, also ungerade. Deshalb ist der Grenzwert für <math>x \to \infty</math> und <math>x \to -\infty</math> jeweils verschieden. Das Vorzeichen des Koeffizienten 1 von x ist positiv, also ist <math>\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} x = \infty</math> und  <math>\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty}x =-\infty</math>
+d) Es ist f(x) = 2x - 17 + 3x<sup>4</sup> = 3x<sup>4</sup> + 2x -17, damit ist der Grad der Polynomfunktion 4,also gerade. Deshalb ist der Grenzwert für <math>x \to \pm \infty</math> in beiden Fällen gleich. Das Vorzeichen des Koeffizienten 2 von x<sup>2</sup> ist positiv, also ist <math>\lim_{x \to \pm \infty} x^2 = \infty</math>  }}
 Mehr über Polynomfunktionen findest du [https://de.serlo.org/mathe/51369/ganzrationale-funktionen-polynomfunktionen hier].

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