M11 Anwendungen und Aufgaben zum Rechnen mit Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen
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Hinweis: <math>\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB}</math> [https://mathepedia.de/Seitenhalbierende.html erhält man aus dem Strahlensatz!] | Hinweis: <math>\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB}</math> [https://mathepedia.de/Seitenhalbierende.html erhält man aus dem Strahlensatz!] | ||
− | {{Aufgaben-blau|2|2= | + | {{Aufgaben-blau|2|2=Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts S des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1;2;3), B(6;5;4) und C(5;2;-1).<br> |
+ | Um was für ein besonderes Dreieck handelt es sich?}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>\vec s = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 12 \\\ 9 \\\ 6 \end{array}\right) =\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right) </math>, also S(4;3;2). | {{Lösung versteckt|1=<math>\vec s = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 12 \\\ 9 \\\ 6 \end{array}\right) =\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right) </math>, also S(4;3;2). | ||
<ggb_applet height="400" width="500" | <ggb_applet height="400" width="500" | ||
− | filename="Schwerpunkt.ggb" /> }} | + | filename="Schwerpunkt.ggb" /> |
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+ | Die Seitenlängen des Dreiecks sind: <math>\bar {AB} = \sqrt{5^2+3^2+1^2}=\sqrt{35}</math>, <math> \bar {BC}=\sqrt {(-1)^2+(-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{35}</math>, <math>\bar {AC}=\sqrt{4^2+0^2+-4^2}=\sqrt{32}</math>, also ist das Dreieck gleichschenklig. }} |
Version vom 16. Januar 2021, 17:36 Uhr
In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht.
Die Strecke [AB] hat einen Mittelpunkt M, dessen Ortsvektor ist .
Merke:
Der Ortsvektor des Mittelpunkts M der Strecke [AB] ist |
Wie kommt man vom Ursprung zu M?
Man geht zuerst mit dem Vektor zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor . Also insgesamt .
, also M(3,5;3,5;3,5)
Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C.
Merke:
Der Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C und deren Ortsvektoren hat den Ortsvektor . Es ist |
Wie kommt man vom Urpsung zu S?
Sind Ma, Mb und Mc die Mittelpunkte der Dreiecksseiten a, b, c.
Man geht zurest mit dem Vektor zum Punkt A, dann von A nach Mb und von Mb nach S, also
Nun ist und
Damit ist
Hinweis: erhält man aus dem Strahlensatz!
, also S(4;3;2).
Die Seitenlängen des Dreiecks sind: , , , also ist das Dreieck gleichschenklig.