M11 Anwendungen und Aufgaben zum Rechnen mit Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen
Zeile 46: | Zeile 46: | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>\vec s = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 12 \\\ 9 \\\ 6 \end{array}\right) =\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right) </math>, also S(4;3;2). | {{Lösung versteckt|1=<math>\vec s = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 12 \\\ 9 \\\ 6 \end{array}\right) =\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right) </math>, also S(4;3;2). | ||
− | <ggb_applet height=" | + | <ggb_applet height="500" width="800" |
filename="Schwerpunkt.ggb" /> | filename="Schwerpunkt.ggb" /> | ||
Die Seitenlängen des Dreiecks sind: <math>\bar {AB} = \sqrt{5^2+3^2+1^2}=\sqrt{35}</math>, <math> \bar {BC}=\sqrt {(-1)^2+(-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{35}</math>, <math>\bar {AC}=\sqrt{4^2+0^2+-4^2}=\sqrt{32}</math>, also ist das Dreieck gleichschenklig. }} | Die Seitenlängen des Dreiecks sind: <math>\bar {AB} = \sqrt{5^2+3^2+1^2}=\sqrt{35}</math>, <math> \bar {BC}=\sqrt {(-1)^2+(-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{35}</math>, <math>\bar {AC}=\sqrt{4^2+0^2+-4^2}=\sqrt{32}</math>, also ist das Dreieck gleichschenklig. }} |
Version vom 16. Januar 2021, 17:40 Uhr
In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht.
Die Strecke [AB] hat einen Mittelpunkt M, dessen Ortsvektor ist .
Merke:
Der Ortsvektor des Mittelpunkts M der Strecke [AB] ist |
Wie kommt man vom Ursprung zu M?
Man geht zuerst mit dem Vektor zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor . Also insgesamt .
, also M(3,5;3,5;3,5)
Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C.
Merke:
Der Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C und deren Ortsvektoren hat den Ortsvektor . Es ist |
Wie kommt man vom Urpsung zu S?
Sind Ma, Mb und Mc die Mittelpunkte der Dreiecksseiten a, b, c.
Man geht zurest mit dem Vektor zum Punkt A, dann von A nach Mb und von Mb nach S, also
Nun ist und
Damit ist
Hinweis: erhält man aus dem Strahlensatz!
, also S(4;3;2).
Die Seitenlängen des Dreiecks sind: , , , also ist das Dreieck gleichschenklig.