M11 Anwendungen und Aufgaben zum Rechnen mit Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen
Zeile 45: | Zeile 45: | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>\vec s = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 12 \\\ 9 \\\ 6 \end{array}\right) =\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right) </math>, also S(4;3;2). | {{Lösung versteckt|1=<math>\vec s = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 12 \\\ 9 \\\ 6 \end{array}\right) =\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right) </math>, also S(4;3;2). | ||
+ | |||
+ | Die Seitenlängen des Dreiecks sind: <math>\bar {AB} = \sqrt{5^2+3^2+1^2}=\sqrt{35}</math>, <math> \bar {BC}=\sqrt {(-1)^2+(-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{35}</math>, <math>\bar {AC}=\sqrt{4^2+0^2+-4^2}=\sqrt{32}</math>, also ist das Dreieck gleichschenklig. | ||
<ggb_applet height="500" width="800" | <ggb_applet height="500" width="800" | ||
− | filename="Schwerpunkt.ggb" /> | + | filename="Schwerpunkt.ggb" /> }} |
+ | |||
+ | {{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 98 / 12 }} | ||
+ | |||
+ | {{Lösung versteckt|1=Es ist <math>\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b)</math> | ||
+ | |||
+ | a) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 4 \end{array}\right)</math><br> | ||
+ | b) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)</math><br> | ||
+ | c) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 4,3 \end{array}\right)</math><br> | ||
+ | d) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -3 \\\ 1 \end{array}\right)</math><br> | ||
+ | e) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 3 \\\ 0,5 \end{array}\right)</math><br> | ||
+ | f) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 1,5 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)</math><br> }} | ||
+ | |||
+ | Die beiden Formeln zum Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks stehen in der Merkhilfe! | ||
+ | |||
+ | {{Aufgaben-blau|4|2=Buch S. 98 / 8<br> | ||
+ | Buch S. 98 / 9<br> | ||
+ | Buch S. 99/14<br> | ||
+ | Buch S. 98 / 10 }} | ||
+ | |||
+ | {{Lösung versteckt|1=98/8<br> | ||
+ | Im Bild im Buch sind die Vektoren <math>\vec a=\vec {AB}</math> und <math>\vec d=\vec {AD}</math> gegeben. Desweiteren weiß man <math>\vec {DC}=\frac{1}{2} \vec a</math>. Dann sind:<br> | ||
+ | <math>\vec {BC}=-\vec a + \vec d + \frac{1}{2} \vec a=\vec d - \frac{1}{2}\vec a</math>, <br> | ||
+ | <math>\vec {DC} = \frac{1}{2} \vec a</math><br> | ||
+ | <math>\vec {AC} = \vec a + \vec {BC}=\vec a + \vec d - \frac{1}{2} \vec a=\frac{1}{2} \vec a + \vec d</math><br> | ||
+ | <math>\vec {BD}=-\vec a + \vec d</math> | ||
+ | |||
+ | 98/9 Es ist C(0;4;0) und D(0;0;0)<br> | ||
+ | [[Datei:98-9.jpg]]<br> | ||
+ | a) | ||
− | + | }} |
Version vom 17. Januar 2021, 11:42 Uhr
In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht.
Die Strecke [AB] hat einen Mittelpunkt M, dessen Ortsvektor ist .
Merke:
Der Ortsvektor des Mittelpunkts M der Strecke [AB] ist |
Wie kommt man vom Ursprung zu M?
Man geht zuerst mit dem Vektor zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor . Also insgesamt .
, also M(3,5;3,5;3,5)
Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C.
Merke:
Der Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C und deren Ortsvektoren hat den Ortsvektor . Es ist |
Wie kommt man vom Urpsung zu S?
Sind Ma, Mb und Mc die Mittelpunkte der Dreiecksseiten a, b, c.
Man geht zurest mit dem Vektor zum Punkt A, dann von A nach Mb und von Mb nach S, also
Nun ist und
Damit ist
Hinweis: erhält man aus dem Strahlensatz!
, also S(4;3;2).
Die Seitenlängen des Dreiecks sind: , , , also ist das Dreieck gleichschenklig.
Es ist
a)
b)
c)
d)
e)
Die beiden Formeln zum Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks stehen in der Merkhilfe!