M11 Anwendungen und Aufgaben zum Rechnen mit Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen

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In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht.  
 
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Wie kommt man vom Ursprung zu M?<br>
 
Wie kommt man vom Ursprung zu M?<br>
 
Man geht zuerst mit dem Vektor <math> \vec a</math> zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor <math>\frac{1}{2} \vec {AB} = \frac{1}{2} (\vec b -\vec a)</math>. Also insgesamt <math> \vec m = \vec a + \frac{1}{2} \vec {AB} = \vec a + \frac{1}{2} (\vec b - \vec a)=\vec a + \frac{1}{2} \vec b - \frac {1}{2} \vec a = \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{2} \vec b=\frac{1}{2}(\vec a +\vec b)</math>.
 
Man geht zuerst mit dem Vektor <math> \vec a</math> zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor <math>\frac{1}{2} \vec {AB} = \frac{1}{2} (\vec b -\vec a)</math>. Also insgesamt <math> \vec m = \vec a + \frac{1}{2} \vec {AB} = \vec a + \frac{1}{2} (\vec b - \vec a)=\vec a + \frac{1}{2} \vec b - \frac {1}{2} \vec a = \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{2} \vec b=\frac{1}{2}(\vec a +\vec b)</math>.
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{{Aufgaben-blau|1|2=a) Bestimme den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten A(1,2,3) und B(6,5,4).<br>
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b) Bestimme den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten A(-1,2,3) und B(6,0,-4). }}
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{{Lösung versteckt|1=<math>\vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3  \end{array}\right) +  \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4  \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 7 \\\ 7  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 3,5 \\\ 3,5 \\\ 3,5  \end{array}\right)</math> , also M(3,5;3,5;3,5)<br>
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b) <math>\vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 2 \\\ 3  \end{array}\right) +  \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 0 \\\ -4  \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2,5 \\\ 1 \\\ -0,5  \end{array}\right)</math> , also M(2,5;1;-0,5)}}
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Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C.  
 
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Hinweis: <math>\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB}</math> [https://mathepedia.de/Seitenhalbierende.html erhält man aus dem Strahlensatz!]
 
Hinweis: <math>\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB}</math> [https://mathepedia.de/Seitenhalbierende.html erhält man aus dem Strahlensatz!]
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{{Aufgaben-blau|2|2=Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts S des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1;2;3), B(6;5;4) und C(5;2;-1).<br>
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Um was für ein besonderes Dreieck handelt es sich?}}
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{{Lösung versteckt|1=<math>\vec s = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3  \end{array}\right) +  \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4  \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1  \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 12 \\\ 9 \\\ 6  \end{array}\right)  =\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 3 \\\ 2  \end{array}\right) </math>, also S(4;3;2). 
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Die Seitenlängen des Dreiecks sind: <math>\bar {AB} = \sqrt{5^2+3^2+1^2}=\sqrt{35}</math>, <math> \bar {BC}=\sqrt {(-1)^2+(-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{35}</math>, <math>\bar {AC}=\sqrt{4^2+0^2+-4^2}=\sqrt{32}</math>, also ist das Dreieck gleichschenklig.
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{{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 98 / 12  }}
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{{Lösung versteckt|1=Es ist <math>\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b)</math>
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a) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 4  \end{array}\right)</math><br>
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b) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)</math><br>
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c) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 4,3  \end{array}\right)</math><br>
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d) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -3 \\\ 1  \end{array}\right)</math><br>
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e) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 3 \\\ 0,5  \end{array}\right)</math><br>
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f) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 1,5 \\\ 0 \\\ 0  \end{array}\right)</math><br>  }}
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Die beiden Formeln zum Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks stehen in der Merkhilfe!
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{{Aufgaben-blau|4|2=Buch S. 98 / 8<br>
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Buch S. 98 / 9<br>
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Buch S. 99/ 14<br>
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Buch S. 98 / 10 }}
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{{Lösung versteckt|1=98/8<br>
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Im Bild im Buch sind die Vektoren <math>\vec a=\vec {AB}</math> und <math>\vec d=\vec {AD}</math> gegeben. Desweiteren weiß man <math>\vec {DC}=\frac{1}{2} \vec a</math>. Dann sind:<br>
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<math>\vec {BC}=-\vec a + \vec d + \frac{1}{2} \vec a=\vec d - \frac{1}{2}\vec a</math>, <br>
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<math>\vec {DC} = \frac{1}{2} \vec a</math><br>
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<math>\vec {AC} = \vec a + \vec {BC}=\vec a + \vec d - \frac{1}{2} \vec a=\frac{1}{2} \vec a + \vec d</math><br>
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<math>\vec {BD}=-\vec a + \vec d</math>
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98/9 Es ist C(0;4;0) und D(0;0;0). C und D ergeben sich eindeutig, da die Pyramide gerade ist. Eine Pyramide ist gerade, wenn ihr Höhenfußpunkt gleich dem Mittelpunkt des Umkreises der Grundfläche ist.<br>
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[[Datei:98-9.jpg]]<br>
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a) <math>\vec {AS}=\vec s - \vec a =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 2 \\\ 6  \end{array}\right)</math><br>
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<math>\vec {BS}=\vec s - \vec b =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -2 \\\ 6  \end{array}\right)</math><br>
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<math>\vec {CS}=\vec s - \vec c =\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 6  \end{array}\right)</math><br>
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<math>\vec {dS}=\vec s - \vec d =\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 6  \end{array}\right)</math><br>
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b) Es ist O = 4·A + G, wenn A eine Seitenfläche und G die Grundfläche ist. <br>
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<math>O = 4 \cdot \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot \sqrt {2^2+6^2} + 4^2=16 \sqrt {10} + 16=16(1+\sqrt{10})</math><br>
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Der Winkel SBC im Dreieck SBC ist der gleiche wie im Dreieck SBF, wenn F der Höhenfusspunkt der Höhe von S auf [BC] ist. Das hat den Vorteil, dass das Dreieck SBF bei F rechtwinklig ist. Dann ist <math>\bar {BC} = 2 </math> und <math>\bar {SB}=\sqrt {2^2+\sqrt{40}^2}=2\sqrt {11}</math>. Dann ist im Dreieck SBF der Winkel <math>\varphi</math> durch <math> cos \varphi = \frac{2}{2\sqrt {11}}</math> gegeben und es ist <math>\varphi = 72,45^o</math>.
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Den Bildpunkt P* erhält man durch <math>\vec p ^*=\vec p + \vec v</math>.<br>
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a) <math>\left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 4 \\\ 3  \end{array}\right)</math><br>
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b) <math>\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 0  \end{array}\right)</math><br>
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98/10<br>
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[[Datei:98-10.jpg]]<br>
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Da man Vektoren angeben soll kommt es nicht auf den Anfangspunkt an, daher ist <math>\vec u=\frac{1}{4} \vec {AB} , \vec v = \frac{3}{4} \vec {BA}, \vec w=\frac{5}{4}\vec{AB}</math>.
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{{Merke|1=Der Teilpunkt T teilt eine Strecke [AB] im '''Teilverhältnis''' <math>\tau</math>. Dabei ist <math>\tau = \frac{\bar{AT}}{\bar{TB}}</math>.<br>
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[[Datei:98-10.jpg]]
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Dabei ist zu beachten, dass hier die Reihenfolge eine Rolle spielt. Wenn T die Strecke [AB] teilt, dann geht man von A zu T und dann von T zu B. Dann ist <math>\tau = \frac{\bar{AT}}{\bar{TB}}</math>.<br>
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Teilt T die Strecke [BA], dann geht man von B zu T und von T zu A, es ist dann <math>\tau = \frac{\bar{BT}}{\bar{TA}}</math>.
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Durch die Verwendung von Vektoren hat man den Vorteil, dass das Teilverhältnis auch negativ sein kann. Man definiert:<br>
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<center><math>\vec {AT}=\tau \cdot \vec {TB}</math></center> <br>
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Da Vektoren auch entgegengesetzt gerichtet sein können ist nun auch ein negatives <math>\tau</math> sinnvoll. <br>
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Ist <math>\tau</math> positiv, dann ist T ein innerer Teilpunkt. (T liegt innerhalb der Strecke [AB].)<br>
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Ist <math>\tau</math> negativ, dann ist T ein äußerer Teilpunkt. (T liegt außerhalb der Strecke [AB].)
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<ggb_applet height="400" width="1000"
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filename="Teilverhältnis.ggb" /> 
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Mehr dazu auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Teilverh%C3%A4ltnis Wikipedia].    }}
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{{Aufgaben-blau|5|2=a) Welche Lage hat T für <math>\tau =1</math>?<br>
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b) In welchem Intervall liegt <math>\tau</math>, wenn T zwischen A und dem Mittelpunkt von [AB] liegt?<br>
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c) In welchem Intervall liegt <math>\tau</math>, wenn T zwischen dem Mittelpunkt von [AB] und B liegt?<br>
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d) In welchem Intervall liegt <math>\tau</math>, wenn T hinter B liegt?<br>
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e) In welchem Intervall liegt <math>\tau</math>, wenn T vor A liegt?
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Welche Bedeutung hat der grüne Punkt?}}
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{{Lösung versteckt|1=a) T ist der Mittelpunkt von [AB].  <br>
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b) <math>0< \tau <1</math><br>
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c) <math>1< \tau < \infty</math><br>
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d) <math>-\infty < \tau <-1</math><br>
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e) <math>-1< \tau < 0</math><br>}}

Aktuelle Version vom 20. Januar 2021, 08:34 Uhr

In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht.

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Verbindungsvektor \vec {AB} der zwei Punkte mit den Ortsvektoren \vec a und \vec b ist

\vec {AB} = \vec b - \vec a.
Vektor AB.jpg

Um von A nach B zu kommen geht man den Vektor \vec {AB}. Man kann aber auch zuerst in Richtung -\vec a gehen und dann in Richtung \vec b. Also ist \vec {AB} = -\vec a + \vec b = \vec b - \vec a.

Die Strecke [AB] hat einen Mittelpunkt M, dessen Ortsvektor ist \vec m.
Mittelpunkt AB.jpg

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Ortsvektor \vec m des Mittelpunkts M der Strecke [AB] ist

\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b)

Wie kommt man vom Ursprung zu M?
Man geht zuerst mit dem Vektor \vec a zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor \frac{1}{2} \vec {AB} = \frac{1}{2} (\vec b -\vec a). Also insgesamt \vec m = \vec a + \frac{1}{2} \vec {AB} = \vec a + \frac{1}{2} (\vec b - \vec a)=\vec a + \frac{1}{2} \vec b - \frac {1}{2} \vec a = \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{2} \vec b=\frac{1}{2}(\vec a +\vec b).


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

a) Bestimme den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten A(1,2,3) und B(6,5,4).
b) Bestimme den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten A(-1,2,3) und B(6,0,-4).

\vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 7 \\\ 7 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 3,5 \\\ 3,5 \\\ 3,5 \end{array}\right) , also M(3,5;3,5;3,5)

b) \vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 0 \\\ -4 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2,5 \\\ 1 \\\ -0,5 \end{array}\right) , also M(2,5;1;-0,5)


Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C.

Schwerpunkt S.jpg

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C und deren Ortsvektoren \vec a, \vec b, \vec c hat den Ortsvektor \vec s. Es ist

\vec s = \frac{1}{3}(\vec a + \vec b + \vec c).

Wie kommt man vom Urpsung zu S?
Sind Ma, Mb und Mc die Mittelpunkte der Dreiecksseiten a, b, c.
Schwerpunkt S 2.jpg
Man geht zurest mit dem Vektor \vec a zum Punkt A, dann von A nach Mb und von Mb nach S, also
\vec s = \vec a+ \vec {AMb} + \vec {MbS}
Nun ist \vec{AMb}=\frac{1}{2}\vec {AC}=\frac{1}{2}(\vec c -\vec a) und \vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB} = \frac{1}{3}(\vec b - \vec {Mb})=\frac{1}{3}[\vec b - \frac{1}{2}(\vec c + \vec a)]
Damit ist \vec s = \vec a+ \vec {AMb} + \vec {MbS} = \vec a + \frac{1}{2}(\vec c -\vec a) + \frac{1}{3}[\vec b - \frac{1}{2}(\vec c + \vec a)]=\vec a + \frac{1}{2} \vec c - \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{3} \vec b - \frac{1}{6} \vec c - \frac{1}{6}\vec a = \frac{1}{3} \vec c + \frac{1}{3} \vec b + \frac{1}{3} \vec b = \frac{1}{3} (\vec a + \vec b + \vec c)

Hinweis: \vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB} erhält man aus dem Strahlensatz!


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts S des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1;2;3), B(6;5;4) und C(5;2;-1).
Um was für ein besonderes Dreieck handelt es sich?

\vec s = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 12 \\\ 9 \\\ 6 \end{array}\right) =\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right) , also S(4;3;2).

Die Seitenlängen des Dreiecks sind: \bar {AB} = \sqrt{5^2+3^2+1^2}=\sqrt{35}, \bar {BC}=\sqrt {(-1)^2+(-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{35}, \bar {AC}=\sqrt{4^2+0^2+-4^2}=\sqrt{32}, also ist das Dreieck gleichschenklig.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Buch S. 98 / 12

Es ist \vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b)

a) \vec m=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 4 \end{array}\right)
b) \vec m=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)
c) \vec m=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 4,3 \end{array}\right)
d) \vec m=\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -3 \\\ 1 \end{array}\right)
e) \vec m=\left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 3 \\\ 0,5 \end{array}\right)

f) \vec m=\left ( \begin{array}{c} 1,5 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)
Die beiden Formeln zum Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks stehen in der Merkhilfe!


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Buch S. 98 / 8
Buch S. 98 / 9
Buch S. 99/ 14
Buch S. 98 / 10

98/8
Im Bild im Buch sind die Vektoren \vec a=\vec {AB} und \vec d=\vec {AD} gegeben. Desweiteren weiß man \vec {DC}=\frac{1}{2} \vec a. Dann sind:
\vec {BC}=-\vec a + \vec d + \frac{1}{2} \vec a=\vec d - \frac{1}{2}\vec a,
\vec {DC} = \frac{1}{2} \vec a
\vec {AC} = \vec a + \vec {BC}=\vec a + \vec d - \frac{1}{2} \vec a=\frac{1}{2} \vec a + \vec d
\vec {BD}=-\vec a + \vec d

98/9 Es ist C(0;4;0) und D(0;0;0). C und D ergeben sich eindeutig, da die Pyramide gerade ist. Eine Pyramide ist gerade, wenn ihr Höhenfußpunkt gleich dem Mittelpunkt des Umkreises der Grundfläche ist.
98-9.jpg
a) \vec {AS}=\vec s - \vec a =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 2 \\\ 6 \end{array}\right)
\vec {BS}=\vec s - \vec b =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -2 \\\ 6 \end{array}\right)
\vec {CS}=\vec s - \vec c =\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 6 \end{array}\right)
\vec {dS}=\vec s - \vec d =\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 6 \end{array}\right)
b) Es ist O = 4·A + G, wenn A eine Seitenfläche und G die Grundfläche ist.
O = 4 \cdot \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot \sqrt {2^2+6^2} + 4^2=16 \sqrt {10} + 16=16(1+\sqrt{10})
Der Winkel SBC im Dreieck SBC ist der gleiche wie im Dreieck SBF, wenn F der Höhenfusspunkt der Höhe von S auf [BC] ist. Das hat den Vorteil, dass das Dreieck SBF bei F rechtwinklig ist. Dann ist \bar {BC} = 2 und \bar {SB}=\sqrt {2^2+\sqrt{40}^2}=2\sqrt {11}. Dann ist im Dreieck SBF der Winkel \varphi durch cos \varphi = \frac{2}{2\sqrt {11}} gegeben und es ist \varphi = 72,45^o.

99/14
Den Bildpunkt P* erhält man durch \vec p ^*=\vec p + \vec v.
a) \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 4 \\\ 3 \end{array}\right)
b) \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 0 \end{array}\right)

98/10
98-10.jpg

Da man Vektoren angeben soll kommt es nicht auf den Anfangspunkt an, daher ist \vec u=\frac{1}{4} \vec {AB} , \vec v = \frac{3}{4} \vec {BA}, \vec w=\frac{5}{4}\vec{AB}.
Nuvola apps kig.png   Merke

Der Teilpunkt T teilt eine Strecke [AB] im Teilverhältnis \tau. Dabei ist \tau = \frac{\bar{AT}}{\bar{TB}}.
98-10.jpg

Dabei ist zu beachten, dass hier die Reihenfolge eine Rolle spielt. Wenn T die Strecke [AB] teilt, dann geht man von A zu T und dann von T zu B. Dann ist \tau = \frac{\bar{AT}}{\bar{TB}}.
Teilt T die Strecke [BA], dann geht man von B zu T und von T zu A, es ist dann \tau = \frac{\bar{BT}}{\bar{TA}}.

Durch die Verwendung von Vektoren hat man den Vorteil, dass das Teilverhältnis auch negativ sein kann. Man definiert:

\vec {AT}=\tau \cdot \vec {TB}

Da Vektoren auch entgegengesetzt gerichtet sein können ist nun auch ein negatives \tau sinnvoll.
Ist \tau positiv, dann ist T ein innerer Teilpunkt. (T liegt innerhalb der Strecke [AB].)
Ist \tau negativ, dann ist T ein äußerer Teilpunkt. (T liegt außerhalb der Strecke [AB].)

Mehr dazu auf Wikipedia.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

a) Welche Lage hat T für \tau =1?
b) In welchem Intervall liegt \tau, wenn T zwischen A und dem Mittelpunkt von [AB] liegt?
c) In welchem Intervall liegt \tau, wenn T zwischen dem Mittelpunkt von [AB] und B liegt?
d) In welchem Intervall liegt \tau, wenn T hinter B liegt?
e) In welchem Intervall liegt \tau, wenn T vor A liegt?

Welche Bedeutung hat der grüne Punkt?

a) T ist der Mittelpunkt von [AB].
b) 0< \tau <1
c) 1< \tau < \infty
d) -\infty < \tau <-1

e) -1< \tau < 0
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