M11 Anwendungen und Aufgaben zum Rechnen mit Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen

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In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht.  
 
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Wie kommt man vom Ursprung zu M?<br>
 
Wie kommt man vom Ursprung zu M?<br>
 
Man geht zuerst mit dem Vektor <math> \vec a</math> zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor <math>\frac{1}{2} \vec {AB} = \frac{1}{2} (\vec b -\vec a)</math>. Also insgesamt <math> \vec m = \vec a + \frac{1}{2} \vec {AB} = \vec a + \frac{1}{2} (\vec b - \vec a)=\vec a + \frac{1}{2} \vec b - \frac {1}{2} \vec a = \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{2} \vec b=\frac{1}{2}(\vec a +\vec b)</math>.
 
Man geht zuerst mit dem Vektor <math> \vec a</math> zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor <math>\frac{1}{2} \vec {AB} = \frac{1}{2} (\vec b -\vec a)</math>. Also insgesamt <math> \vec m = \vec a + \frac{1}{2} \vec {AB} = \vec a + \frac{1}{2} (\vec b - \vec a)=\vec a + \frac{1}{2} \vec b - \frac {1}{2} \vec a = \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{2} \vec b=\frac{1}{2}(\vec a +\vec b)</math>.
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{{Aufgaben-blau|1|2=a) Bestimme den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten A(1,2,3) und B(6,5,4).<br>
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b) Bestimme den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten A(-1,2,3) und B(6,0,-4). }}
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{{Lösung versteckt|1=<math>\vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3  \end{array}\right) +  \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4  \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 7 \\\ 7  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 3,5 \\\ 3,5 \\\ 3,5  \end{array}\right)</math> , also M(3,5;3,5;3,5)<br>
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b) <math>\vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 2 \\\ 3  \end{array}\right) +  \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 0 \\\ -4  \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2,5 \\\ 1 \\\ -0,5  \end{array}\right)</math> , also M(2,5;1;-0,5)}}
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Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C.  
 
Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C.  
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Hinweis: <math>\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB}</math> [https://mathepedia.de/Seitenhalbierende.html erhält man aus dem Strahlensatz!]
 
Hinweis: <math>\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB}</math> [https://mathepedia.de/Seitenhalbierende.html erhält man aus dem Strahlensatz!]
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{{Aufgaben-blau|2|2=Bestimme die Koordinaten des Schwerpunkts S des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1;2;3), B(6;5;4) und C(5;2;-1).}}
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{{Lösung versteckt|1=<math>\vec s = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3  \end{array}\right) +  \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4  \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1  \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 12 \\\ 9 \\\ 6  \end{array}\right)  =\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 3 \\\ 2  \end{array}\right) </math>, also S(4;3;2). 
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<ggb_applet height="400" width="500"
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filename="Schwerpunkt.ggb" />  }}

Version vom 16. Januar 2021, 17:24 Uhr

In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht.

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Verbindungsvektor \vec {AB} der zwei Punkte mit den Ortsvektoren \vec a und \vec b ist

\vec {AB} = \vec b - \vec a.
Vektor AB.jpg

Um von A nach B zu kommen geht man den Vektor \vec {AB}. Man kann aber auch zuerst in Richtung -\vec a gehen und dann in Richtung \vec b. Also ist \vec {AB} = -\vec a + \vec b = \vec b - \vec a.

Die Strecke [AB] hat einen Mittelpunkt M, dessen Ortsvektor ist \vec m.
Mittelpunkt AB.jpg

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Ortsvektor \vec m des Mittelpunkts M der Strecke [AB] ist

\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b)

Wie kommt man vom Ursprung zu M?
Man geht zuerst mit dem Vektor \vec a zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor \frac{1}{2} \vec {AB} = \frac{1}{2} (\vec b -\vec a). Also insgesamt \vec m = \vec a + \frac{1}{2} \vec {AB} = \vec a + \frac{1}{2} (\vec b - \vec a)=\vec a + \frac{1}{2} \vec b - \frac {1}{2} \vec a = \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{2} \vec b=\frac{1}{2}(\vec a +\vec b).


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

a) Bestimme den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten A(1,2,3) und B(6,5,4).
b) Bestimme den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten A(-1,2,3) und B(6,0,-4).

\vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 7 \\\ 7 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 3,5 \\\ 3,5 \\\ 3,5 \end{array}\right) , also M(3,5;3,5;3,5)

b) \vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 0 \\\ -4 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2,5 \\\ 1 \\\ -0,5 \end{array}\right) , also M(2,5;1;-0,5)


Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C.

Schwerpunkt S.jpg

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C und deren Ortsvektoren \vec a, \vec b, \vec c hat den Ortsvektor \vec s. Es ist

\vec s = \frac{1}{3}(\vec a + \vec b + \vec c).

Wie kommt man vom Urpsung zu S?
Sind Ma, Mb und Mc die Mittelpunkte der Dreiecksseiten a, b, c.
Schwerpunkt S 2.jpg
Man geht zurest mit dem Vektor \vec a zum Punkt A, dann von A nach Mb und von Mb nach S, also
\vec s = \vec a+ \vec {AMb} + \vec {MbS}
Nun ist \vec{AMb}=\frac{1}{2}\vec {AC}=\frac{1}{2}(\vec c -\vec a) und \vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB} = \frac{1}{3}(\vec b - \vec {Mb})=\frac{1}{3}[\vec b - \frac{1}{2}(\vec c + \vec a)]
Damit ist \vec s = \vec a+ \vec {AMb} + \vec {MbS} = \vec a + \frac{1}{2}(\vec c -\vec a) + \frac{1}{3}[\vec b - \frac{1}{2}(\vec c + \vec a)]=\vec a + \frac{1}{2} \vec c - \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{3} \vec b - \frac{1}{6} \vec c - \frac{1}{6}\vec a = \frac{1}{3} \vec c + \frac{1}{3} \vec b + \frac{1}{3} \vec b = \frac{1}{3} (\vec a + \vec b + \vec c)

Hinweis: \vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB} erhält man aus dem Strahlensatz!


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Bestimme die Koordinaten des Schwerpunkts S des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1;2;3), B(6;5;4) und C(5;2;-1).

\vec s = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 12 \\\ 9 \\\ 6 \end{array}\right) =\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right) , also S(4;3;2).

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