M11 Anwendungen und Aufgaben zum Rechnen mit Vektoren

In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht.

Merke: Der Verbindungsvektor $\vec {AB}$ der zwei Punkte mit den Ortsvektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist $\vec {AB} = \vec b - \vec a$. Um von A nach B zu kommen geht man den Vektor $\vec {AB}$. Man kann aber auch zuerst in Richtung $-\vec a$ gehen und dann in Richtung $\vec b$. Also ist $\vec {AB} = -\vec a + \vec b = \vec b - \vec a$.

Die Strecke [AB] hat einen Mittelpunkt M, dessen Ortsvektor ist $\vec m$.

Merke: Der Ortsvektor $\vec m$ des Mittelpunkts M der Strecke [AB] ist $\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b)$

Wie kommt man vom Ursprung zu M?
Man geht zuerst mit dem Vektor $\vec a$ zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor $\frac{1}{2} \vec {AB} = \frac{1}{2} (\vec b -\vec a)$. Also insgesamt $\vec m = \vec a + \frac{1}{2} \vec {AB} = \vec a + \frac{1}{2} (\vec b - \vec a)=\vec a + \frac{1}{2} \vec b - \frac {1}{2} \vec a = \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{2} \vec b=\frac{1}{2}(\vec a +\vec b)$.

Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C.

Merke: Der Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C und deren Ortsvektoren $\vec a, \vec b, \vec c$ hat den Ortsvektor $\vec s$. Es ist $\vec s = \frac{1}{3}(\vec a + \vec b + \vec c)$.

Wie kommt man vom Urpsung zu S?
Sind Ma, Mb und Mc die Mittelpunkte der Dreiecksseiten a, b, c.

Man geht zurest mit dem Vektor $\vec a$ zum Punkt A, dann von A nach Mb und von Mb nach S, also
$\vec s = \vec a+ \vec {AMb} + \vec {MbS}$
Nun ist $\vec{AMb}=\frac{1}{2}\vec {AC}=\frac{1}{2}(\vec c -\vec a)$ und $\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB} = \frac{1}{3}(\vec b - \vec {Mb})=\frac{1}{3}[\vec b - \frac{1}{2}(\vec c + \vec a)]$
Damit ist $\vec s = \vec a+ \vec {AMb} + \vec {MbS} = \vec a + \frac{1}{2}(\vec c -\vec a) + \frac{1}{3}[\vec b - \frac{1}{2}(\vec c + \vec a)]=\vec a + \frac{1}{2} \vec c - \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{3} \vec b - \frac{1}{6} \vec c - \frac{1}{6}\vec a = \frac{1}{3} \vec c + \frac{1}{3} \vec b + \frac{1}{3} \vec b = \frac{1}{3} (\vec a + \vec b + \vec c)$

Hinweis: $\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB}$ erhält man aus dem Strahlensatz!