M11 Das Newtonsche Iterationsverfahren: Unterschied zwischen den Versionen
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Es geht also darum die x-Koordinaten der Punkte D und E zu bestimmen. | Es geht also darum die x-Koordinaten der Punkte D und E zu bestimmen. | ||
Für das Newton-Verfahren hängt es stark ab welchen Startwert x<sub>0</sub> man nimmt. Wir probieren es mit x<sub>0</sub> = 1.<br> | Für das Newton-Verfahren hängt es stark ab welchen Startwert x<sub>0</sub> man nimmt. Wir probieren es mit x<sub>0</sub> = 1.<br> | ||
| − | Mit <math>x_0=1</math> ist <math>f(1)=-\frac{37}{12}</math>, <math>f'(x)=1</math> und <math>x_1=x_0-\frac{f(1)}{f'(1)}=1-\frac{-\frac{37}{12}}{1}=\frac{49}{12}</math><br> | + | Mit <math>x_0=1</math> ist <math>f(1)=-\frac{37}{12}</math>, <math>f'(x)=1</math> und <math>x_1=x_0-\frac{f(1)}{f'(1)}=1-\frac{-\frac{37}{12}}{1}=\frac{49}{12} \approx 4,0833</math><br> |
| − | + | Es ist dann <math>f(\frac{49}{12})\approx 8,08100</math> und <math>f'(\frac{49}{12})=17,7228</math> und <math>x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=4,0833-\frac{8,0810}{17,7228}\approx 3,6979</math><br> | |
| − | + | Es geht weiter mit <math>f(x_2)\approx 1,9654</math> und <math>f'(x_2)\approx 9,6146</math> und <math>x_3=3,6979-\frac{1,9654}{9,6146}=3,4235</math> | |
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Version vom 15. Dezember 2020, 18:46 Uhr
Für lineare und quadratische Funktionen hat man zur Bestimmung der Nullstellen Gleichungen zu lösen. Bei quadratischen Funktionen gibt es hierzu die Lösungsformel. Für Polynome höheren Grades kann man meist nur Nullstellen erraten und dann per Polynomdivision versuchen auf ein Polynom 2. Grades zu kommen.
Bei vielen Funktionen hat man Probleme die Nullstellen zu bestimmen. Oftmals reicht es aus, wenn man einen Näherungswert hat. Ein Verfahren um einen Näherungswert für die Nullstelle einer Funktion zu finden ist das Newtonsche Iterationsverfahren.
 Merke
Newtonsche Iterationsformel Diese Formel steht auch in der Merkhilfe |
a) x1 = 3,2235
Diese Lösung soll nochmals ausführlich dargestellt werden. Man erhält x1 indem man im Punkt P(x0),f(x0) auf dem Graphen von f die Tangente macht.
Es ist f(5) = 53+52+1=151.
Die Steigung der Tangente erhält man durch f'(5).
Die Ableitungsfunktion f' ist durch f(x) = 3x2+2x gegeben. Es ist f'(5) = 85.
Den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse ist nun x1 und x1 erhält man nun durch die Formel 
.
Es ist also 
b) x1 = 3,3552
a) x26 = - 1,46557
b) x6 = 1,51598
84/11 
Gf hat Schnittpunkt mit der y-Achse (0;0), da f(0)=0 ist und
Schnittpunkt mit der x-Achse (0;0), da 
Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist, also 
oder 
.
Die quadratische Gleichung hat keine Lösung, da ihre Diskriminante 
Also ist x=0 doppelte Nullstelle.
Für die Monotonietabelle braucht man 
. Es ist 
für 
, wobei x2=2 zweifach ist.
Gf' ist der Graph eines Polynoms 3. Grades mit Nullstelle bei x1=0 und x2=2 (doppelt), also hat man bei x2=2 keinen Vorzeichenwechsel.
Monotonietabelle:
Für x < 0 ist f'(x) < 0 und Gf ist streng monoton fallend.
Für x = 0 ist f'(0) = 0 und (0;0) ist wegen VZW -/+ ein TP.
Für 0 < x < 2 ist f'(x) > 0 und Gf ist streng monoton steigend.
Für x = 2 ist f'(2) = 0 und Gf hat dort einen Terrassenpunkt, da kein VZW.
Für x > 0 ist f'(x) > 0 und Gf ist streng monoton steigend.
Für den letzten Teil der Aufgabe 84/11 geht es darum die x-Koordinaten der Punkte A und B zu bestimmen, eigentlich nur dei x-Koordinate von B.
Man muss also x so finden, dass die Gleichung 
erfüllt ist. Es ist also die Gleichung
zu lösen, was gleichbedeutend ist Nullstellen der Funktion 
mit 
zu finden. Man muss also die Gleichung
lösen. Hierfür gibt es keine Lösungsformel und das Rezept vom letzten Jahr, dass man eine Nullstelle "rät" und dann Polynomdivision macht geht hier auch nicht. Also bleibt nur das Newton-Verfahren übrig.
Es geht also darum die x-Koordinaten der Punkte D und E zu bestimmen.
Für das Newton-Verfahren hängt es stark ab welchen Startwert x0 man nimmt. Wir probieren es mit x0 = 1.
Mit 
ist 
, 
und 
Es ist dann 
und 
und 
und 
und 
