M11 Die Kettenregel

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Die Ableitung einer Funktion f, die die Verkettung der Funktionen u und v ist, erhält man mit der Kettenregel. Es ist f(x)=u \circ v(x)=u(v(x)).
Nach der Definition der Ableitung ist f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
Nun muss man dabei beachten was die Funktionen u und v dabei machen.
Wenn x \to x_0 ist, dann ist v(x) \to v(x_0).
v(x), v(x_0) sind die Argumente, die in u eingesetzt werden. Dabei ist dann, wenn v(x) \to v(x_0) ist , auch u(v(x)) \to u(v(x_0)).

Damit kann man den Differenzenquotienten schreiben:
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{x-x_0}=\frac{u(v(x)-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}\cdot \frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}.
Beim letzten Term stimmt der Nenner des ersten Bruches mit den Zähler des 2. Bruches überein.
Der erste Bruch \lim_{x \to x_0}\frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)} bedeutet, dass man u nach v(x) ableitet und der zweite Bruch \lim_{x \to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0} bedeutet, dass man v nach x ableitet.

Also hat man f'(x)=(u\circ v)'(x)=(u(v(x))'=u'(v)\cdot v'(x).

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Merke:

Kettenregel

f'(x)=(u\circ v)'(x)=(u(v(x))'=u'(v)\cdot v'(x).

Man leitet zuerst die äußere Funktion ab und multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion. Dies nennt man Nachdifferenzieren.


Beispiele:
1.Wir nehmen das Anfangsbeispiel der Seite M11_Verkettung_von_Funktionen
Es ist f(x)= \sqrt {x^2+1}. Dabei ist u(v)=\sqrt v die Funktionsgleichung der äußeren Funktion. Das Argument der Funktion u wurde mit v bezeichnet, damit man sieht, dass die Variable von u nun v (eigentlich v(x)) ist.
Die innere Funktion hat die Funktionsgleichung v(x)=x^2+1.
Für die Ableitung f' der Funktion f differenziert man die äußere Funktion u nach v. Also ist u'(v)=\frac{1}{2\sqrt v} und multipliziert dieses Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion u nach x, also mit  u'(x) = 2x.
Insgesamt erhält man nun f'(x)=u'(v)\cdot v'(x)=\frac{1}{2\sqrt v} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt v}. Nun ersetzt man wieder v durch x^2+1 und kürzt 2, dann ist das Ergebnis

f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt {x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt {x^2+1}}.

2. f mit f(x)=(5x^2 -3)^{2021} ist die Verkettung der Funktion u mit u(v)=v^{2021} mit der Funktion v mit v(x)=5x^2 -3.
Die Ableitung von u(v)=v^{2021} ist u'(v)=2021v^{2020} (Ableitung der äußeren Funktion)
und die Ableitung von v(x)=5x^2 -3 ist v'(x)=10x (Ableitung der inneren Funktion).
Die Ableitungsfunktion f' erhält man durch f'(x)= u'(v) \cdot v'(x)= 2021v^{2020} \cdot 10x.
Nun ersetzt man weider v durch 5x^2 -3 und hat dann die Ableitung der Funktion f

f'(x) = 2021(5x^2-3)^{2020}\cdot 10x=20210x(5x^2-3)^{2020}.

Und das ging doch deutlich besser als die Potenz (5x^2 -3)^{2021} auszurechnen und ein Polynom von hohem Grad abzuleiten!

Man kann die Schreibweise auch verkürzen, indem man die Schreibweise mit "v" weglässt und gleich nur mit den Funktionen von x schreibt. Dabei wird gleich v durch den Funktionsterm v(x) ersetzt.
Das Beispiel 1 ergibt dann f'(x)=\frac{1}{2\sqrt {x^2+1}}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt {x^2+1}}.
Das Beispiel 2 schreibt sich dann f'(x)=2021(5x^2-3)^{2020} \cdot 10x = 20210x(5x^2-3)^{2020}.


Schauen Sie sich auch die Beispiele 2 bis 4 im Buch auf S. 130 an. Beim Beispiel 3 kann man das Quadrat ausrechnen und ableiten. Man erhält das gleiche Ergebnis, wie wenn man den ursprünglichen Term mit der Kettenregel ableitet.
Das Beispiel 4 verdeutlicht die Auswirkung auf die Definitionsmenge, was sehr selten vorkommt.

Nuvola apps kig.png   Merke

Als sehr praktikabel hat sich dieses Verfahren erwiesen:
Bei der Funktion f ersetzt man die innere Funktion durch z.
Im ersten Beispiel: f(x)= \sqrt {x^2+1} = \sqrt z mit z=x^2+1.
im zweiten Beispiel: f(x)=(5x^2 -3)^{2021}=z^{2021} mit z=5x^2-3.


Die Ableitung f'(x) ergibt sich dann durch f'(x)=f'(z)\cdot z'.


Obwohl in dem Term auf der rechten Seite gar kein x vorkommt, ist es eine Funktion von x, da z eine Funktion von x ist.
Man leitet f zuerst nach z ab und multipliziert dann mit der Ableitung von z nach x. Man spricht "z wird nachdifferenziert".

In unseren Beispielen:
1. f(x)= \sqrt z ergibt f'(x)=\frac{1}{2\sqrt z}\cdot z' und dann ersetzt man für z durch x^2+1 und z' durch die Ableitung 2x, also f'(x)=\frac {1}{2\sqrt {x^2+1}}\cdot 2x.
2. f(x)=z^{2021} ergibt f'(x)=2021z^{2020} \cdot z' = 2021(5x^2-3)^{202}\cdot 10x.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Buch S. 131 / 4

a) f'(x)=2(1+3x^2)\cdot 6x=12x(1+3x^2) und f'(2)=312
b) f'(x)=2(1-x^4)\cdot 4x^3 =8x^2(1-x^4) und f'(1)=0
c) f'(x)=2(1+2x+x^2)\cdot (2+2x)=(4+4x)(1+2x+x^2) und f'(-1)=0
d) f'(x)=2(1-5x)\cdot (-5) = -10+50x und f'(0)=-10
e) f'(x)=2(x^5+1)\cdot 5x^4=10x^4(x^5+1) und f'(-1)=0
f) Hier berechnet man zuerst in der runden Klammer (3x)2 = 9x2 und leitet dann (x-9x^2)^2 ab.
f'(x)=2(x-9x^2)\cdot (1-18x) und f'(2)=2380
g) f'(x)=2(2x+\frac{1}{4x})\cdot (2 - \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{x^2}) und f'(0,5)=3
h) f'(x)=-2\frac{1}{(1+4x)^3}\cdot 4 =-\frac{8}{(1+4x)^3} und f'(0,5)=-\frac{8}{27}
i) f'(x)=2\cdot\frac{2x+1}{1-4x}\cdot \frac{2\cdot(1-4x)-(2x+1)\cdot(-4)}{(1-4x)^2} =
\frac{(4x+2)(2-8x+8x+4)}{(1-4x)^3} =\frac{24x+12}{(1-4x)^3} und f'(-0,5)=0
j) Wenn man den Funktionsterm nicht ausmultiplizieren will, muss man die Produktregel verwenden. Bei der Ableitung des zweiten Faktors braucht man die Kettenregel.
f'(x)=(-4)(9-x^2)^2+(2-4x)\cdot 2\cdot(9-x^2)\cdot 2x und f'(3)=0
k) f'(x)=4\cdot (1+x^2)^3 \cdot 2x = 8x(1+x^2)^3 und f'(2)= 2000
l) f'(x)=n(4-x)^{n-1} \cdot (-1)=-n(4-x)^{n-1} und f'(4)=0
m) Hier braucht man die Quotientenregel und für die Ableitung des Nenners die Kettenregel.
f'(x)=\frac{1\cdot (x^2+1)^3-x\cdot 3\cdot (x^2+1)^2\cdot 2x}{(x^2+1)^6}=\frac{(x^2+1)^2(x^2+1 - 6x^2)}{(x^2+1)^6}=\frac{1-5x^2}{(x^2+1)^4} und  f'(0)=1
n) Hier ist z=\frac{1-x}{1+x^2} und f(x)=z^2.
f'(x)=2\cdot z \cdot z'=2\cdot \frac{1-x}{1+x^2} \cdot \frac{-1(1+x^2)-(1-x)\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=2\cdot \frac{(1-x)(-1-x^2-2x+2x^2)}{(1+x^2)^3}=2\cdot \frac{(1-x)(x^2-2x-1)}{(1+x^2)^3} und f'(0)=-2
o) Hier ist z=4+x^2 und f(x)=4z^{-2}
f'(x)=-8z^{-3} \cdot z'=-8\cdot (4+x^2)^{-3}\cdot 2x=\frac{-16x}{(4+x^2)^3} und f'(-2)=0,0625
p) Hier ist z=\frac{1+x^2}{1-x} und f(x) = z^2.

f'(x)=2z\cdot z'=2\cdot \frac{1+x^2}{1-x} \cdot \frac{2x(1-x)-(1+x^2)(-1)}{(1-x)^2}=2\cdot \frac{(1+x^2)(2x-2x^2+1+x^2)}{(1-x)^3}=2\cdot \frac{(1+x^2)(-x^2+2x+1)}{(1-x)^3} und f'(-1)=-1


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Buch S. 131 / 6

a) Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist, also für x = -2.
\lim_{x \to 0} \left ( \frac{x+2}{x} \right )^2=\infty
\lim_{x \to \pm \infty } \left ( \frac{x+2}{x} \right )^2=1, da der Grad des Zählerpolynoms = Grad des Nennerpolynoms ist und der Quotient der Koeffizienten von x 1 ist.
Asymptoten: senkrechte Asymptote x = 0 bei der Polstelle und waagrechte Asymptote y = 1 für x \to \pm \infty.

b) Setzt man für die Klammer z, also z=\frac{x+2}{x}, dann ist f(x) = z^2. Die Ableitung erhält man mit der Kettenregel f'(x) = 2z\cdot z'. Für z setzt man wieder den ursprünglichen Term.
z' erhält man mit der Quotientenregel. z' = \frac{1\cdot x - (x+2)\cdot 1}{x^2}=\frac{-2}{x^2}.
f'(x) = 2 \cdot  \frac{x+2}{x} \cdot  \frac{-2}{x^2}= \frac{-4(x+2)}{x^3}
Es ist f'(x)=0 wenn x = -2 ist.
Der Zähler 4(x+2) hat bei x = -2 einen VZW -/+, also ist bei x = -2 ein Minimum und Gf hat bei (-2;0) einen Tiefpunkt.

Für x < -2 ist f'(x) < 0, also Gf streng monoton fallend,
für -2 < x < 0 ist f'(x) > 0, also Gf streng monoton steigend,
für 0 < x ist f'(x) < 0, also Gf streng monoton fallend.

b) Da der Funktionsterm ein Quadrat ist mit Nullstelle ist f(x) ≥ 0. Da D = R\{0}, verläuft Gf im I. und II. Quadranten.

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d) Es ist  f(2) = 4 und f'(2)=-2
Also ist y = -2x + t und t erhält man, indem man die Koordinaten von A(2;4) einsetzt. 4 = -4 + t, also t = 8.
Die Gleichung der Tangente in (2;4) ist y = -2x + 8.

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Aus der Graphik sieht man, dass g = 6 und h = 4 ist, also A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4 = 12.
Die Seitenlängen des Dreiecks sind a = 6, b = 2\sqrt 5, c = 4\sqrt 2 und u = 6 + 4 \sqrt 2 + 2 \sqrt 5 \approx 16,1
Der kleinste Winkel \eta im Dreieck QER ist bei E. Es ist cos \eta=\frac{4}{4\sqrt 2}=\frac{1}{2} \sqrt 2 (im rechtwinkligen Dreieck ABF, wenn F der Höhenfusspunkt ist), also \eta = 45^o.

e) Für die Parabel macht man einen allgemeinen Ansatz  y = ax^2 + b x + c und setzt die Koordinaten der drei Punkte E, R und Q ein. Man erhält drei Gleichungen mit drei Unbekannten a, b, c.
E(-2;0): (1) 0 = 4a - 2b + c
R(4;0): (2) 0 = 16a + 4b + c
Q(2;4): (3) 4 = 4a + 2b +c
Subtrahiert man (1) von (3) so erhält man 4 = 4b, also b = 1.
Damit hat man dann
(1) 2 = 4a + c
(2) -4 = 16 a + c
(3) 2 = 4a + c
Die Gleichungen (1) und (3) sind identisch, also hat man noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten a und c.
(1) 2 = 4a + c
(2) -4 = 16 + c

(1) löst man nach c auf: c = 2 - 4a und setzt den rechten Term für c in (2) ein.
-4 = 16a + 2 -4a
Dies ergibt für a = -0,5.
Für c ergibt sich c = 4.
Die Gleichung der Parabel ist y = - 0,5x2 + x +4.
Man kennt die zwei Nullstellen (-2;0) und (4;0) der Parabel. Die x-Koordinate des Scheitels liegt genau in der Mitte, also bei x = 1. Setzt man x = 1 in die Parabelgleichung ein, dann erhält man y = 4,5 und damit ist der Scheitel S(1;4,5).

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