M11 Die Kettenregel

Die Ableitung einer Funktion $f$, die die Verkettung der Funktionen $u$ und $v$ ist, erhält man mit der Kettenregel. Es ist $f(x)=u \circ v(x)=u(v(x))$.
Nach der Definition der Ableitung ist $f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
Nun muss man dabei beachten was die Funktionen $u$ und $v$ dabei machen.
Wenn $x \to x_0$ ist, dann ist $v(x) \to v(x_0)$.
$v(x), v(x_0)$ sind die Argumente, die in u eingesetzt werden. Dabei ist dann, wenn $v(x) \to v(x_0)$ ist , auch $u(v(x)) \to u(v(x_0))$.

Damit kann man den Differenzenquotienten schreiben:
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{x-x_0}=\frac{u(v(x)-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}\cdot \frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}$.
Beim letzten Term stimmt der Nenner des ersten Bruches mit den Zähler des 2. Bruches überein.
Der erste Bruch $\lim_{x \to x_0}\frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}$ bedeutet, dass man $u$ nach $v(x)$ ableitet und der zweite Bruch $\lim_{x \to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}$ bedeutet, dass man $v$ nach $x$ ableitet.

Also hat man $f'(x)=(u\circ v)'(x)=(u(v(x))'=u'(v)\cdot v'(x)$.

Merke: Kettenregel $f'(x)=(u\circ v)'(x)=(u(v(x))'=u'(v)\cdot v'(x)$. Man leitet zuerst die äußere Funktion ab und multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion. Dies nennt man Nachdifferenzieren.

Beispiele:
1.Wir nehmen das Anfangsbeispiel der Seite M11_Verkettung_von_Funktionen
Es ist $f(x)= \sqrt {x^2+1}$. Dabei ist $u(v)=\sqrt v$ die Funktionsgleichung der äußeren Funktion. Das Argument der Funktion $u$ wurde mit $v$ bezeichnet, damit man sieht, dass die Variable von $u$ nun $v$ (eigentlich $v(x)$) ist.
Die innere Funktion hat die Funktionsgleichung $v(x)=x^2+1$.
Für die Ableitung $f'$ der Funktion $f$ differenziert man die äußere Funktion $u$ nach $v$. Also ist $u'(v)=\frac{1}{2\sqrt v}$ und multipliziert dieses Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion $u$ nach $x$, also mit $u'(x) = 2x$.
Insgesamt erhält man nun $f'(x)=u'(v)\cdot v'(x)=\frac{1}{2\sqrt v} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt v}$. Nun ersetzt man wieder $v$ durch $x^2+1$ und kürzt 2, dann ist das Ergebnis

$f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt {x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt {x^2+1}}$.

2. $f$ mit $f(x)=(5x^2 -3)^{2021}$ ist die Verkettung der Funktion $u$ mit $u(v)=v^{2021}$ mit der Funktion $v$ mit $v(x)=5x^2 -3$.
Die Ableitung von $u(v)=v^{2021}$ ist $u'(v)=2021v^{2020}$ (Ableitung der äußeren Funktion)
und die Ableitung von $v(x)=5x^2 -3$ ist $v'(x)=10x$ (Ableitung der inneren Funktion).
Die Ableitungsfunktion $f'$ erhält man durch $f'(x)= u'(v) \cdot v'(x)= 2021v^{2020} \cdot 10x$.
Nun ersetzt man weider $v$ durch $5x^2 -3$ und hat dann die Ableitung der Funktion $f$

$f'(x) = 2021(5x^2-3)^{2020}\cdot 10x=20210x(5x^2-3)^{2020}$.

Und das ging doch deutlich besser als die Potenz $(5x^2 -3)^{2021}$ auszurechnen und ein Polynom von hohem Grad abzuleiten!

Man kann die Schreibweise auch verkürzen, indem man die Schreibweise mit "v" weglässt und gleich nur mit den Funktionen von x schreibt. Dabei wird gleich v durch den Funktionsterm v(x) ersetzt.
Das Beispiel 1 ergibt dann $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt {x^2+1}}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt {x^2+1}}$.
Das Beispiel 2 schreibt sich dann $f'(x)=2021(5x^2-3)^{2020} \cdot 10x = 20210x(5x^2-3)^{2020}$.

Schauen Sie sich auch die Beispiele 2 bis 4 im Buch auf S. 130 an. Beim Beispiel 3 kann man das Quadrat ausrechnen und ableiten. Man erhält das gleiche Ergebnis, wie wenn man den ursprünglichen Term mit der Kettenregel ableitet.
Das Beispiel 4 verdeutlicht die Auswirkung auf die Definitionsmenge, was sehr selten vorkommt.

Merke Als sehr praktikabel hat sich dieses Verfahren erwiesen: Bei der Funktion $f$ ersetzt man die innere Funktion durch z. Im ersten Beispiel: $f(x)= \sqrt {x^2+1} = \sqrt z$ mit $z=x^2+1$. im zweiten Beispiel: $f(x)=(5x^2 -3)^{2021}=z^{2021}$ mit $z=5x^2-3$. Die Ableitung $f'(x)$ ergibt sich dann durch $f'(x)=f'(z)\cdot z'$. Obwohl in dem Term auf der rechten Seite gar kein x vorkommt, ist es eine Funktion von x, da z eine Funktion von x ist. Man leitet f zuerst nach z ab und multipliziert dann mit der Ableitung von z nach x. Man spricht "z wird nachdifferenziert". In unseren Beispielen: 1. $f(x)= \sqrt z$ ergibt $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt z}\cdot z'$ und dann ersetzt man für z durch $x^2+1$ und z' durch die Ableitung $2x$, also $f'(x)=\frac {1}{2\sqrt {x^2+1}}\cdot 2x$. 2. $f(x)=z^{2021}$ ergibt $f'(x)=2021z^{2020} \cdot z' = 2021(5x^2-3)^{202}\cdot 10x$.

  Aufgabe 1

Buch S. 131 / 4

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a) $f'(x)=2(1+3x^2)\cdot 6x=12x(1+3x^2)$ und $f'(2)=312$
b) $f'(x)=2(1-x^4)\cdot 4x^3 =8x^2(1-x^4)$ und $f'(1)=0$
c) $f'(x)=2(1+2x+x^2)\cdot (2+2x)=(4+4x)(1+2x+x^2)$ und $f'(-1)=0$
d) $f'(x)=2(1-5x)\cdot (-5) = -10+50x$ und $f'(0)=-10$
e) $f'(x)=2(x^5+1)\cdot 5x^4=10x^4(x^5+1)$ und $f'(-1)=0$
f) Hier berechnet man zuerst in der runden Klammer (3x)² = 9x² und leitet dann $(x-9x^2)^2$ ab.
$f'(x)=2(x-9x^2)\cdot (1-18x)$ und $f'(2)=2380$
g) $f'(x)=2(2x+\frac{1}{4x})\cdot (2 - \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{x^2})$ und $f'(0,5)=3$
h) $f'(x)=-2\frac{1}{(1+4x)^3}\cdot 4 =-\frac{8}{(1+4x)^3}$ und $f'(0,5)=-\frac{8}{27}$
i) $f'(x)=2\cdot\frac{2x+1}{1-4x}\cdot \frac{2\cdot(1-4x)-(2x+1)\cdot(-4)}{(1-4x)^2} = \frac{(4x+2)(2-8x+8x+4)}{(1-4x)^3} =\frac{24x+12}{(1-4x)^3}$ und $f'(-0,5)=0$
j) Wenn man den Funktionsterm nicht ausmultiplizieren will, muss man die Produktregel verwenden. Bei der Ableitung des zweiten Faktors braucht man die Kettenregel.
$f'(x)=(-4)(9-x^2)^2+(2-4x)\cdot 2\cdot(9-x^2)\cdot 2x$ und $f'(3)=0$
k) $f'(x)=4\cdot (1+x^2)^3 \cdot 2x = 8x(1+x^2)^3$ und $f'(2)= 2000$
l) $f'(x)=n(4-x)^{n-1} \cdot (-1)=-n(4-x)^{n-1}$ und $f'(4)=0$
m) Hier braucht man die Quotientenregel und für die Ableitung des Nenners die Kettenregel.
$f'(x)=\frac{1\cdot (x^2+1)^3-x\cdot 3\cdot (x^2+1)^2\cdot 2x}{(x^2+1)^6}=\frac{(x^2+1)^2(x^2+1 - 6x^2)}{(x^2+1)^6}=\frac{1-5x^2}{(x^2+1)^4}$ und $f'(0)=1$
n) Hier ist $z=\frac{1-x}{1+x^2}$ und $f(x)=z^2$.
$f'(x)=2\cdot z \cdot z'=2\cdot \frac{1-x}{1+x^2} \cdot \frac{-1(1+x^2)-(1-x)\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=2\cdot \frac{(1-x)(-1-x^2-2x+2x^2)}{(1+x^2)^3}=2\cdot \frac{(1-x)(x^2-2x-1)}{(1+x^2)^3}$ und $f'(0)=-2$
o) Hier ist $z=4+x^2$ und $f(x)=4z^{-2}$
$f'(x)=-8z^{-3} \cdot z'=-8\cdot (4+x^2)^{-3}\cdot 2x=\frac{-16x}{(4+x^2)^3}$ und $f'(-2)=0,0625$
p) Hier ist $z=\frac{1+x^2}{1-x}$ und $f(x) = z^2$.

$f'(x)=2z\cdot z'=2\cdot \frac{1+x^2}{1-x} \cdot \frac{2x(1-x)-(1+x^2)(-1)}{(1-x)^2}=2\cdot \frac{(1+x^2)(2x-2x^2+1+x^2)}{(1-x)^3}=2\cdot \frac{(1+x^2)(-x^2+2x+1)}{(1-x)^3}$ und $f'(-1)=-1$

  Aufgabe 2

Buch S. 131 / 6

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a) Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist, also für x = -2.
$\lim_{x \to 0} \left ( \frac{x+2}{x} \right )^2=\infty$
$\lim_{x \to \pm \infty } \left ( \frac{x+2}{x} \right )^2=1$, da der Grad des Zählerpolynoms = Grad des Nennerpolynoms ist und der Quotient der Koeffizienten von x 1 ist.
Asymptoten: senkrechte Asymptote x = 0 bei der Polstelle und waagrechte Asymptote y = 1 für $x \to \pm \infty$.

b) Setzt man für die Klammer z, also $z=\frac{x+2}{x}$, dann ist $f(x) = z^2$. Die Ableitung erhält man mit der Kettenregel $f'(x) = 2z\cdot z'$. Für z setzt man wieder den ursprünglichen Term.
z' erhält man mit der Quotientenregel. $z' = \frac{1\cdot x - (x+2)\cdot 1}{x^2}=\frac{-2}{x^2}$.
$f'(x) = 2 \cdot \frac{x+2}{x} \cdot \frac{-2}{x^2}= \frac{-4(x+2)}{x^3}$
Es ist $f'(x)=0$ wenn x = -2 ist.
Der Zähler 4(x+2) hat bei x = -2 einen VZW -/+, also ist bei x = -2 ein Minimum und G_f hat bei (-2;0) einen Tiefpunkt.

Für x < -2 ist f'(x) < 0, also G_f streng monoton fallend,
für -2 < x < 0 ist f'(x) > 0, also G_f streng monoton steigend,
für 0 < x ist f'(x) < 0, also G_f streng monoton fallend.

b) Da der Funktionsterm ein Quadrat ist mit Nullstelle ist f(x) ≥ 0. Da D = R\{0}, verläuft G_f im I. und II. Quadranten.

d) Es ist $f(2) = 4$ und $f'(2)=-2$
Also ist y = -2x + t und t erhält man, indem man die Koordinaten von A(2;4) einsetzt. 4 = -4 + t, also t = 8.
Die Gleichung der Tangente in (2;4) ist y = -2x + 8.

Aus der Graphik sieht man, dass g = 6 und h = 4 ist, also $A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4 = 12$.
Die Seitenlängen des Dreiecks sind $a = 6, b = 2\sqrt 5, c = 4\sqrt 2$ und $u = 6 + 4 \sqrt 2 + 2 \sqrt 5 \approx 16,1$
Der kleinste Winkel $\eta$ im Dreieck QER ist bei E. Es ist $cos \eta=\frac{4}{4\sqrt 2}=\frac{1}{2} \sqrt 2$ (im rechtwinkligen Dreieck ABF, wenn F der Höhenfusspunkt ist), also $\eta = 45^o$.

e) Für die Parabel macht man einen allgemeinen Ansatz $y = ax^2 + b x + c$ und setzt die Koordinaten der drei Punkte E, R und Q ein. Man erhält drei Gleichungen mit drei Unbekannten a, b, c.
E(-2;0): (1) 0 = 4a - 2b + c
R(4;0): (2) 0 = 16a + 4b + c
Q(2;4): (3) 4 = 4a + 2b +c
Subtrahiert man (1) von (3) so erhält man 4 = 4b, also b = 1.
Damit hat man dann
(1) 2 = 4a + c
(2) -4 = 16 a + c
(3) 2 = 4a + c
Die Gleichungen (1) und (3) sind identisch, also hat man noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten a und c.
(1) 2 = 4a + c
(2) -4 = 16 + c

(1) löst man nach c auf: c = 2 - 4a und setzt den rechten Term für c in (2) ein.
-4 = 16a + 2 -4a
Dies ergibt für a = -0,5.
Für c ergibt sich c = 4.
Die Gleichung der Parabel ist y = - 0,5x² + x +4.
Man kennt die zwei Nullstellen (-2;0) und (4;0) der Parabel. Die x-Koordinate des Scheitels liegt genau in der Mitte, also bei x = 1. Setzt man x = 1 in die Parabelgleichung ein, dann erhält man y = 4,5 und damit ist der Scheitel S(1;4,5).