M8 - Beispiele weiterer gebrochen-rationaler Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Du hast schon verschiedene Graphen gebrochen-rationaler Funktionen gesehen. Hier sollen nun weitere Beispiele gezeigt werden um zu sehen, was alles vorkommen kann.
 
Du hast schon verschiedene Graphen gebrochen-rationaler Funktionen gesehen. Hier sollen nun weitere Beispiele gezeigt werden um zu sehen, was alles vorkommen kann.
  
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Du hast für die in direkte Proportionalität <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> gesehen, dass bei x = 0 eine Defintionslücke ist und der Graph dort eine senkrechte Asymptote x = 0 hat. <br>
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Bei Annäherung von x an 0 gehen die y-Werte, wenn x negativ ist nach <math>- \infty</math> und wenn x positiv ist nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asympote immer mehr an.
  
  
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Anders schaut es schon bei dieser Funktion  <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math> aus. Diese Funktion hat auch bei x = 0 eine Definitionslücke und der Graph eine senkrechte Asymptote x = 0.<br>
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Bei Annäherung von x an 0 , egal ob mit negativen oder positiven x, gehen die y-Werte  an 0 nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asymptote immer mehr an.
  
  
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Die Funktion Funktion  <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2-1}</math> hat wegen x<sup>2</sup>-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken bei x = -1 und x = 1. Ihr Graph schaut dann so aus.<br>
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Der Graph hat zwei Asymptoten bei den Definitionslücken x = -1 und x = 1 und nähert sich an diese jeweils unterschiedlich an. Die Funktionswerte gehen je nach Annäherung an die Definitionslücken nach <math>-\infty</math> oder <math>\infty</math>.
  
  
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{{Merke|1=Hat der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion bei einer Definitionslücke x = a eine senkrechte Asymptote x = a, dann heißt die Definitionslücke '''Polstelle'''.}}
  
  
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Du hast auch schon gesehen (http://rsg.zum.de/wiki/Gebrochen-rationale_Funktionen_8 Aufgabe 9 2.), dass gebrochen-rationale Funktionen keine senkrechten Asymptoten haben.<br>
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Hier sind die Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse.
  
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Ordne die Polstellen und die angegebenen Funktionen <math> f: x \rightarrow f(x)</math> richtig zu!
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Beachte, dass eine Postelle als Definitionslücke mit Asymptote hauptsächlich eine Nullstelle des Nenners ist.
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| <math>f(x) = \frac{x-12}{2x}</math> || <math>x = 0 </math>
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| <math>f(x) = \frac{2x-6}{5}</math> || keine Polstelle
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| <math>f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x}</math> || <math>x_1 = 0; x_2 = 2</math>
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|-
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| <math>f(x) = \frac{x^2-64}{x^2+2x}</math> ||  <math>x_1 = -2; x_2 = 0</math>
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| <math>f(x) = \frac{x^2+64}{x^2-64}</math> ||  <math>x_1 = -8; x_2 = 8</math> 
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|}
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</div>
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Für <math> |x| \rightarrow  \infty </math> treten waagrechte Asymptoten auf, z.B. die x-Achse oder eine Parallele zu ihr.Es gibt aber auch schräge Asymptoten.<br>
 
Im folgenden Beispiel stehen in Zähler und Nenner Terme mit x, der Zählerterm ist eine x-Potenz. Man kann den Exponenten der Zählerpotenz ändern und man sieht die Auswirkungen auf den Graphen und die Asymptoten.
 
Im folgenden Beispiel stehen in Zähler und Nenner Terme mit x, der Zählerterm ist eine x-Potenz. Man kann den Exponenten der Zählerpotenz ändern und man sieht die Auswirkungen auf den Graphen und die Asymptoten.
  
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Bei n = 3 (man hat hier x<sup>3</sup> als höchste x-Potenz in Zähler und Nenner, also gleiche x-Potenz) ist die waagrechte Asymptote in y-Richtung verschoben und y = 0,5 istfür <math>x \rightarrow \pm \infty</math> waagrechte Asymptote. <br>
 
Bei n = 3 (man hat hier x<sup>3</sup> als höchste x-Potenz in Zähler und Nenner, also gleiche x-Potenz) ist die waagrechte Asymptote in y-Richtung verschoben und y = 0,5 istfür <math>x \rightarrow \pm \infty</math> waagrechte Asymptote. <br>
 
Bei n = 4 wird die Asymptote für für <math>x \rightarrow \pm \infty</math>  sogar schräg und die Gerade hat die Gleichung y = 0,5x + 1,5.}}
 
Bei n = 4 wird die Asymptote für für <math>x \rightarrow \pm \infty</math>  sogar schräg und die Gerade hat die Gleichung y = 0,5x + 1,5.}}
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{{Merke|1=Für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> haben gebrochen-rationale Funktionen Asymptoten, die waagrecht und auch schräg sein können. }}

Aktuelle Version vom 24. Juli 2020, 20:43 Uhr

Du hast schon verschiedene Graphen gebrochen-rationaler Funktionen gesehen. Hier sollen nun weitere Beispiele gezeigt werden um zu sehen, was alles vorkommen kann.

Du hast für die in direkte Proportionalität f: x \rightarrow \frac{1}{x} gesehen, dass bei x = 0 eine Defintionslücke ist und der Graph dort eine senkrechte Asymptote x = 0 hat.
1-x-.jpg
Bei Annäherung von x an 0 gehen die y-Werte, wenn x negativ ist nach - \infty und wenn x positiv ist nach \infty und nähern sich der Asympote immer mehr an.


Anders schaut es schon bei dieser Funktion f: x \rightarrow \frac{1}{x^2} aus. Diese Funktion hat auch bei x = 0 eine Definitionslücke und der Graph eine senkrechte Asymptote x = 0.
1 durch x^2.jpg
Bei Annäherung von x an 0 , egal ob mit negativen oder positiven x, gehen die y-Werte an 0 nach \infty und nähern sich der Asymptote immer mehr an.


Die Funktion Funktion f: x \rightarrow \frac{1}{x^2-1} hat wegen x2-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken bei x = -1 und x = 1. Ihr Graph schaut dann so aus.
1dxq.jpg
Der Graph hat zwei Asymptoten bei den Definitionslücken x = -1 und x = 1 und nähert sich an diese jeweils unterschiedlich an. Die Funktionswerte gehen je nach Annäherung an die Definitionslücken nach -\infty oder \infty.


Nuvola apps kig.png   Merke

Hat der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion bei einer Definitionslücke x = a eine senkrechte Asymptote x = a, dann heißt die Definitionslücke Polstelle.


Du hast auch schon gesehen (http://rsg.zum.de/wiki/Gebrochen-rationale_Funktionen_8 Aufgabe 9 2.), dass gebrochen-rationale Funktionen keine senkrechten Asymptoten haben.
117-11 2.jpg
Hier sind die Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Ordne die Polstellen und die angegebenen Funktionen f: x \rightarrow f(x) richtig zu!


Beachte, dass eine Postelle als Definitionslücke mit Asymptote hauptsächlich eine Nullstelle des Nenners ist.

f(x) = \frac{x-12}{2x} x = 0
f(x) = \frac{2x-6}{5} keine Polstelle
f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x} x_1 = 0; x_2 = 2
f(x) = \frac{x^2-64}{x^2+2x} x_1 = -2; x_2 = 0
f(x) = \frac{x^2+64}{x^2-64} x_1 = -8; x_2 = 8



Für |x| \rightarrow \infty treten waagrechte Asymptoten auf, z.B. die x-Achse oder eine Parallele zu ihr.Es gibt aber auch schräge Asymptoten.
Im folgenden Beispiel stehen in Zähler und Nenner Terme mit x, der Zählerterm ist eine x-Potenz. Man kann den Exponenten der Zählerpotenz ändern und man sieht die Auswirkungen auf den Graphen und die Asymptoten.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3} für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.

Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?

Die senkrechte Asymptote ist für alle Fälle bei x = 1 und ändert sich nicht.
Ist n = 1 oder n = 2 (die x-Potenz im Zähler ist x oder x2 ist kleiner als die Zählerpotenz x3 im Nenner), dann die x-Achse y = 0 für x \rightarrow \pm \infty waagrechte Asymptote.
Bei n = 3 (man hat hier x3 als höchste x-Potenz in Zähler und Nenner, also gleiche x-Potenz) ist die waagrechte Asymptote in y-Richtung verschoben und y = 0,5 istfür x \rightarrow \pm \infty waagrechte Asymptote.

Bei n = 4 wird die Asymptote für für x \rightarrow \pm \infty sogar schräg und die Gerade hat die Gleichung y = 0,5x + 1,5.


Nuvola apps kig.png   Merke

Für x \rightarrow \pm \infty haben gebrochen-rationale Funktionen Asymptoten, die waagrecht und auch schräg sein können.

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