M8 - Beispiele weiterer gebrochen-rationaler Funktionen

Du hast schon verschiedene Graphen gebrochen-rationaler Funktionen gesehen. Hier sollen nun weitere Beispiele gezeigt werden um zu sehen, was alles vorkommen kann.

Im folgenden Beispiel stehen in Zähler und Nenner Terme mit x, der Zählerterm ist eine x-Potenz. Man kann den Exponenten der Zählerpotenz ändern und man sieht die Auswirkungen auf den Graphen und die Asymptoten.

  Aufgabe

Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion $f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3}$ für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.

Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?

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Die senkrechte Asymptote ist für alle Fälle bei x = 1 und ändert sich nicht.
Ist n = 1 oder n = 2 (die x-Potenz im Zähler ist x oder x² ist kleiner als die Zählerpotenz x³ im Nenner), dann die x-Achse y = 0 für $x \rightarrow \pm \infty$ waagrechte Asymptote.
Bei n = 3 (man hat hier x³ als höchste x-Potenz in Zähler und Nenner, also gleiche x-Potenz) ist die waagrechte Asymptote in y-Richtung verschoben und y = 0,5 istfür $x \rightarrow \pm \infty$ waagrechte Asymptote.

Bei n = 4 wird die Asymptote für für $x \rightarrow \pm \infty$ sogar schräg und die Gerade hat die Gleichung y = 0,5x + 1,5.