M9 Mehrstufige Zufallsexperimente

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Wird ein Zufallsexperiment in mehreren Schritten ausgeführt, so nennt man es mehrstufig oder zusammengesetzt.

Mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich schön durch Baumdiagramm veranschaulichen.

Baumdiagramm Urnenziehung.png

Bei den Teilpfaden notiert man die jeweilige Wahrscheinlichkeit.

Beim Baumdiagramm gelten die drei Pfadregeln:

1. Pfadregel

Der Summenwert der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilpfaden, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist 1.

Im Beispiel nach dem linken Verzweigungspunkt ist \frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1. Rechts ist nach dem zweiten unteren Verzweigungspunkt \frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1 und nach dem zweiten oberen Verzweigungspunkt \frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1 .

2. Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad, der zu dem Ergebnis führt.

Im Beispiel ist P(zwei\ gruene\ Kugeln) = \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10},
P(zwei\  rote\ Kugeln) =  \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{10},
P(zuerst\ eine\ rote\ Kugel,\ dann\ eine\ gruene\ Kugel) =  \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{10},
P(zuerst\ eine\ gruene\ Kugel,\ dann\ eine\ rote\ Kugel)= \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{10}

3. Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die günstigen Ergebnisse für dieses
Ereignis.

Im Beispiel ist P(eine\ rote\ und\ eine\ gruene\ Kugel) =
P(zuerst\ eine\ rote\ Kugel,\ dann\ eine\ gruene\ Kugel)+ P(zuerst\ eine\ gruene\ Kugel,\ dann\ eine\ rote\ Kugel)=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{3}{5}

In diesem Video

werden alle Begriffe und die Pfadregeln nochmals an der Tafel erkärt.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Lies im Buch auf S. 144 - 145 die Beispiele.

Buch S. 145 / 1
Buch S. 145 / 2

145/1
Ein Zufallsexperiment ist: Urne mit drei Kugeln, auf einer Kugel steht 1, auf der zweiten Kugel 2 und auf der dritten Kugel 3. Man zieht zweimal nacheinander eine Kugeln, notiert die Nummer und legt die Kugel zurück.
Als weiteres Zufallsexperiment kann man sich ein Glücksrad vorstellen, dessen Kreis in drei gleich große Teile geteilt ist und in jedem Drittel steht eine der Zahlen 1, 2, 3. Man dreht das Glücksrad, notiert die Zahl, nun dreht man ein zweites Mal das Glücksrad und notiert wieder die Zahl.

145/2

145-2 1.jpg145-2 2.jpg


Nuvola apps kig.png   Merke

\overline E ist das Gegenereignis des Ereignisses E. Für die Wahrscheinlichkeit P(\overline E) gilt: P(\overline E)=1-P(E).


In diesem Video siehst du wie man mit dem Gegenereignis und den Pfadregeln eine Wahrscheinlichkeit beim Elfmeterschießen berechnet.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Buch S. 146 / 3
Buch S. 146 / 4
Buch S. 146 / 5 Wuerfel w4.jpg
Buch S. 146 / 6

146/3

Baumdiagramm 1.jpg

An jedem Ast ist die Wahrscheinlichkeit \frac{1}{6}.
\Omega = \lbrace 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31^, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66 \rbrace .

Da man \Omega kennt, kann man mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit P(A)=\frac{Anzahl\ der\ fuer\ A\ guenstigen\ Ergebnisse}{Anzahl\ aller\ Ergebnisse} die Wahrscheinlichkeit berechnen.
Hier sollen aber die Pfadregeln angewendet werden.
Damit erhält man sofort, dass jedes Ergebnis \omega_i die Wahrscheinlichkeit \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36} hat. Alle Elementarereignisse \lbrace \omega_i \rbrace sind also gleichwahrscheinlich mit P( \lbrace \omega_i \rbrace)=\frac{1}{36}.

a) P(E_1)=P(\lbrace 45 \rbrace )=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}\approx 2,8%

b) P(E_2)=P(\lbrace 11, 22, 33, 44, 55, 66 \rbrace)= \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} +\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=6\cdot \frac{1}{36}= \frac{1}{6}\approx 16,7%

c)E_3=\overline {E_1} \Rightarrow P(E_3)=1-P(E_1)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\approx 83,3%

d) P(E_4)=P(\lbrace 46, 55, 64\rbrace)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12}\approx 8,3%

e) P(E_5) = 1- P(E_4)=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\approx 91,7%

f) P(E_6)=1-P(''Die\ Summe\ der\ geworfenen\ Augenzahlen\ hat\ den\ Wert\ 12'')=1-P(\lbrace 66 \rbrace)=1-\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{35}{36}\approx 97,2%

g) P(E_7)=P(\lbrace 26, 34, 43, 62\rbrace) = \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{9}\approx 11,1%

h) P(E_8)=P(\lbrace \rbrace)=0

i) P(E_9)=P(\lbrace 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66\rbrace)=P\Omega)=1


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Zu diesem Zufallsexperiment lässt sich nur sehr schwer ein Baumdiagramm zeichnen. Daher ist es das einfachste, wenn man das Baumdiagramm aus der vorhergehenden Aufgabe sich im Kopf weiter fortgesetzt vorstellt. An jedem Ast steht die Wahrscheinlichkeit \frac{1}{6}.

Es ist \Omega = \lbrace 1111, 1112, 1113, 1114, 1115, 1116, 1121, 1122, 1123, 1124, 1125, ..., 6654, 6655, 6656, 6661, 6662, 6663, 6664, 6665, 6666\rbrace und |\Omega|=6^4=1296.
Jedes Ergebnis \omega_i und damit auch jedes Elementarereignis \lbrace \omega_i \rbrace hat die gleiche Wahrscheinlichkeit P(\lbrace \omega_i \rbrace )=\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \frac{1}{6^4}=\frac{1}{1296}.

a) P(E_1)=P(\lbrace 1234 \rbrace)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}=\left ( \frac{1}{6} \right )^4=\frac{1}{1296}

b) Es gibt 4! Möglichkeiten die 4 Ziffern anzuordnen, also ist P(E_2)= 4! \cdot \left (\frac{1}{6}\right )^4=24\cdot \left (\frac{1}{6}\right )^4

c) P(E_3)=P(\lbrace 6666, 1111 \rbrace)= \left (\frac{1}{6}\right )^4 + \left (\frac{1}{6}\right )^4=2\cdot \left (\frac{1}{6}\right )^4

d) P(E_4)=\left (\frac{5}{6}\right )^4

e) P(E_5)=4\cdot \frac{1}{6}\cdot \left (\frac{1}{6}\right )^3

f) P(E_6)=1-P(''Die\ Zahl\ enthaelt\ keine\ 6'')=1- \left (\frac{5}{6}\right )^4

g) P(E_7)=4\cdot \frac{1}{6}\cdot \left (\frac{1}{6}\right )^4+ \left (\frac{5}{6}\right )^4

h) P(E_8)= \left (\frac{1}{6}\right )^3 \cdot \left (\frac{1}{6}\right )=\frac{1}{6} \cdot \left (\frac{1}{6}\right )^3


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Ein Tetraeder-Würfel hat die Form einer Pyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche und dieselben gleichseitigen Dreicke als Seitenflächen. Er besteht also aus 4 gleichseitigen Dreiecken.
Dazu gibt es verschiedene Ausführungen. Im Bild hier hat man eine 4 gewürfelt. Dies erkennt man, dass auf allen Seiten oben an der Spitze eine 4 steht.
Wuerfel w4.jpg
Beim einmaligen Werfen des Tetraederwürfels hat man vier mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3 oder 4 und es ist P(\lbrace 1 \rbrace)= P(\lbrace 2 \rbrace)= P(\lbrace 3 \rbrace)= P(\lbrace 4 \rbrace)=\frac{1}{4}.
Für das zweimalige Werfen eines Laplace-Tetraeders ergibt sich dieses Baumdiagramm: Das Baumdiagramm schaut dann so aus:

Baumdiagramm 2.jpg

Man sieht, dass es 16 Ergebnisse gibt. \omega=\lbrace 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44 \rbrace . Für jeden Ast ist die Wahrscheinlichkeit \frac{1}{4}.

P(Summenwert\ ist\ eine\ gerade\ Zahl)=P(\lbrace 11, 13, 22, 24, 31, 33, 42, 44 \rbrace)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}

b) Du kannst gerne einen Tetraeder-Würfel basteln oder du hast vielleicht sogar eine solchen Würfel daheim. Dann überprüfe doch mal Aufgabe a).


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Baumdiagramm 3.jpg

Laplace-Münze: P(WW;ZZ)= 0,5·0,5 + 0,5·0,5 = 0,5
P(ZW; WZ)= 0,5·0,5 + 0,5·0,5 = 0,5

"gezinkte" Münze: P(WW;ZZ)= 0,55·0,55 + 0,45·0,45 = 0,505
P(ZW; WZ)= 0,45·0,55 + 0,55·0,45 = 0,495

Bei der Laplace-Münze sind die beiden Ereignisse gleichwahrscheinlich, bei der "gezinkten" Münze ist die Wahrscheinlchkeit größer gleiche Seiten zu werfen.