M9 Quadratische Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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  Ein Produkt hat den  Wert Null, wenn ei Faktor den Wert Null hat.
 
  Ein Produkt hat den  Wert Null, wenn ei Faktor den Wert Null hat.
 
Dann sind die zwei Lösungen der Gleichung x(x+5)=0 die zwei Zahlen x<sub>1</sub>=-5 und x<sub>2</sub>=0. Damit hat die Gleichung x<sup>2</sup> + 5x = 0 auch diese zwei Lösungen x<sub>1</sub>=-5 und x<sub>2</sub>=0.
 
Dann sind die zwei Lösungen der Gleichung x(x+5)=0 die zwei Zahlen x<sub>1</sub>=-5 und x<sub>2</sub>=0. Damit hat die Gleichung x<sup>2</sup> + 5x = 0 auch diese zwei Lösungen x<sub>1</sub>=-5 und x<sub>2</sub>=0.
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In diesem Video {{#ev:youtube |1Kg7InEco6E|350}} wird Ausklammern und die Verwendung der binomischen Formeln aufgezeigt.
  
 
Ausklammern funktioniert bei der Gleichung x<sup>2</sup> +5x + 6 = 0 nicht! <br>
 
Ausklammern funktioniert bei der Gleichung x<sup>2</sup> +5x + 6 = 0 nicht! <br>

Version vom 5. Januar 2021, 15:12 Uhr

Bei den linearen Funktionen war es nützlich die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen zu bestimmen. Der Schnittpunkt mit der y-Achse war der y-Abschnitt t und mit Hilfe der Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) konnte man leicht die Steigung mbestimmen.

Bei den quadratischen Funktionen geht dies ähnlich. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist durch f(0) gegeben. Die Nullstelle/Nullstellen erhält man durch Lösen der Gleichung f(x) = 0.
Bei den Übungen zu den quadratischen Funktionen hast du bei Aufgabe 1 und Aufgabe 2 gesehen, dass eine Parabel zwei Nullstellen oder keine Nullstelle haben kann. Von der Normalparabel kennst du, dass sie eine Nullstelle hat.


Um die Nullstellen zu bestimmen muss man die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 finden.
Für eine quadratische Funktion f: x \rightarrow ax^2 + bx + c führt dies zur Gleichung a x^2 + b x + c = 0.

Maehnrot.jpg
Merke:

Eine Gleichung der Form a x^2 + b x + c = 0 mit a \in R\{0}, b, c \in R heißt quadratische Gleichung:

Inhaltsverzeichnis

graphische Lösung

Manchmal kann man aus dem Graph die Nullstellen direkt ablesen. Man spricht dann vom graphischen Lösen der quadratischen Gleichung. Bei der quadratischen Funktion f : x \rightarrow x^2 - 1 hast du folgenden Graph

y=x^2-1

Du liest hier problemlos x_1 = -1 und x_2 = 1 als Nullstellen der Funktion ab.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Lies aus dem Graphen die Nullstelle(n) ab.
a) (x-1)^2-1.jpg b) -(x+1)^2+1.jpg c) (x-1.5)^2-2.jpg
Gib auch jeweils die Funktionsgleichung an.

a) x1 = 0 und x2 = 2, y = (x-1)2-1
b) x1 = -2 und x2 = 0, y = -(x+1)2+1

c) x1 = 0,1 und x2 = 2,9, y = (x-1,5)2-2

Bei dem Graphen von Aufgabe 1c kann man die Nullstellen nur näherungsweise ablesen. Man sieht jedenfalls, dass x1 = 0 und x2 = 3 nicht die Nullstellen sind, sondern, dass sie etwas daneben liegen. Aus dem Graphen kann man sie dann nur ungefähr ablesen.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

1. Löse graphisch
1 a) x2 + 4x + 4 = 0, b) 3x2 - 3x - 18 = 0, c) x2 + x - 2 = 0
2 Ermittle graphisch die Nullstellen
a) f(x) = 4 - x2, b) f(x) = 0,5( x-1)2 - 0,5, c) f(x) = x2 - 2

1a) x = -2 , b) x1 = -2 und x2 = 3 , c) x1 = -2 und x2 = 1

2a) x1 = -2 und x2 = 2 , b) x1 = 0 und x2 = 2 , c) x1 = -1,4 und x2 = 1,4


Von der letzten Aufgabe weißt man, dass die Gleichung x^2 -2 = 0 die zwei Lösungen x_1 = -\sqrt 2 und x_2=\sqrt 2 hat. Auch hier kann man graphisch nur Näherungslösungen bestimmen.
Dies ist natürlich unbefriedigend. Man möchte ja gerne die exakten Lösungen. Also muss man eine rechnerische Lösung finden.

rechnerische Lösung

Zerlegung in Linearfaktoren

Bei der Gleichung x2 + 5x = 0 kann man x ausklammern. Es ist x2 + 5x = x(x+5), also muss man die Gleichung x(x+5)=0 lösen. Man weiß 

Ein Produkt hat den  Wert Null, wenn ei Faktor den Wert Null hat.

Dann sind die zwei Lösungen der Gleichung x(x+5)=0 die zwei Zahlen x1=-5 und x2=0. Damit hat die Gleichung x2 + 5x = 0 auch diese zwei Lösungen x1=-5 und x2=0.

In diesem Video
wird Ausklammern und die Verwendung der binomischen Formeln aufgezeigt.

Ausklammern funktioniert bei der Gleichung x2 +5x + 6 = 0 nicht!
Bei den ersten beiden Summanden könnte man x ausklammern, aber der dritte Summand 6 bleibt dann stehen. x2 +5x + 6 =x(x+5)+6 und wie soll man x(x+5)+6 = 0 lösen?
Wenn man bei der ganzen rechten Seite x ausklammert, dann erhält man x^2 + 5x + 6 = x(x+5+\frac{6}{x}) und für die Gleichung x+5+\frac{6}{x} = 0 hat man keinen Plan wie man sie lösen soll.

Schön wäre es, wenn man den Term x2 +5x + 6 so umformen könnte, dass x2 +5x + 6 = (x+3)(x+2) da steht. Dann hätte man wieder, dass ein Produkt 0 ist, wenn ein Faktor 0 ist. Also wären die Lösungen x1=-3 und x2=-2.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

1. Zeige, dass die Gleichung x2 +5x + 6 = (x+3)(x+2) allgemeingültig ist.
2. Überprüfe durch Einsetzen in die Gleichung x2 +5x + 6 = 0, dass x1=-3 und x2=-2 Lösungen sind.

1. Man multipliziert die rechte Seite aus (x+3)(x+2)=x2+3x+2x+6=x2+5x+6 und erhält die linke Seite.

2. x = -3 eingesetzt ergibt 9 - 15 + 6 0 = und x = -2 eingesetzt ergibt 4 - 10 + 6 = 0.

Doch wie kommt man auf so eine Zerlegung?
Zuerst schaut man sich den Summanden ohne x, also hier 6 an. Beim Ausmultiplizieren entsteht die 6 als Produkt der zwei Zahlen 2 und 3. Also schaut man welche natürliche Zahlen als Produkt 6 ergeben. Hier kommen 6·1 = 6 und 2·3=6 also die zwei Zahlenpaar 6 und 1 sowie 3 und 2 in Frage. Beim Ausmultiplizieren der Klammern sieht man auch, dass der Term mit x als Koeffizient die Summe der beide Zahlen hat, also 6+1 = 7 bzw. 3+2=5. Damit hat man (x+3)(x+2)=x2 + 5x + 6.

Nuvola apps kig.png   Merke

Um die Zerlegung von x2 + bx + c in Linearfaktoren zu finden, schaue nach natürlichen Zahlen x1 und x2,
1. deren Produkt c ist, also x1·x2 = c und
2. deren Summe b ist, also x1+x2=b.
3. Es ist dann x2 + bx + c = (x + x1)(x + x2).

Die quadratische Gleichung x2 + bx + c = 0 hat dann die zwei Lösungen -x1 und -x2.

Beispiele:

x2 + 7x + 6 1. 6 ist das Produkt aus 6 und 1 sowie 3 und 2
2. Summe: 6+1 = 7, 3+2 = 5
3. x2 + 7x + 6 =(x+1)(x+6)
x2 - 8x + 12 1. 12 ist das Produkt aus 12 und 1, sowie 6 und 2, sowie 4 und 3.
2. Summe: 12+1 = 13, 6 + 2 = 8, 4+3=7
3. 2 und 6 sind die Kandidaten. Da vor 8 ein Minuszeichen steht muss man -2 und -6 nehmen.

x2 - 8x + 12 =(x-2)(x-6)

x2 -5x + 6 1. 6 ist das Produkt aus 6 und 1 sowie 3 und 2
2. Summe: 6+1 = 7, 3+2 = 5
3. 2 und 3 sind die Kandidaten. Da vor x aber -5 steht, muss man -3 und -2 nehmen, also x2 - 5x + 6 =(x-3)(x-2)
x2 + x - 6 1. 6 ist das Produkt aus 6 und 1 sowie 2 und 3. Da nun aber hier -6 steht muss man jeweils eine Zahl mit - versehen, also (6 und -1) oder (-6 und 1) oder (-2 und 3) oder (-3 und 2).

2. Summe 6-1=5, -6+1=-5, -2+3=1, -3+2=-1, also sind -2 und 3 die passenden Zahlen.
3. x2 + x - 6 = (x-2)(x+3)


François Viète hat dies etwas anders herausgefunden.
Sind x1 und x2 die zwei Lösungen der Gleichung x2 + bx + c = 0, dann lässt sich der quadratische Term x2 + bx + c in Faktoren x - x1 und x - x2 zerlegen. Es ist x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2).
Hier steht nun in der Klammer jeweils ein - Zeichen, da ja die Zahlen eingesetzt 0 ergeben!
Multipliziert man die rechte Seite aus (x - x1)(x - x2) = x2 - x·x2 - x1·x + x1·x2=x2-(x1+x2)·x+x1·x2
Der Vergleich von x2-(x1+x2)·x+x1·x2 mit x2 + bx + c liefert
b = -(x1+x2) und c = x1·x2

Nuvola apps kig.png   Merke

Satz von Vieta
Sind p und q die Koeffizienten der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 und x1 und x2 deren Lösung, so ist x1 + x2 = -p und x1·x2 = q.

In dem Satz von Vieta wurden p und q verwendet. Dies ist allgemein so üblich, wenn in der quadratischen Gleichung der Koeffizient von x2 die Zahl 1 ist. Die quadratische Gleichung hat dann die Form x2 + px + q = 0.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Bearbeite die Aufgabe 1, Aufgabe 2

Lösungsformel

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