Das Fadenpendel

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Im Gegensatz zum Federpendel (meist hat man ja keine Feder zuhause) kannst du ein Fadenpendel leicht daheim selbst anfertigen.
Ein Fadenpendel besteht aus einem Körper, der an einem befestigten Faden aufgehängt ist. Der Pendelkörper wird um ein kleines Stück aus der Ruhelage ausgelenkt und dort losgelassen.

Pendelschwingung.gif

Beim mathematischen Pendel handelt es sich um ein idealisiertes Pendel, ein "punktförmiger" Pendelkörper hängt an einem masselosen Seil oder Stange.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

1. Beschreibe die Energien, die beim Fadenpendel auftreten.
2. Ein 1m langes Fadenpendel (Masse des Pendelkörpers m = 100g) wird um 20° ausgelenkt. Auf welche Höhe h über der Ruhelage ist das Pendel? Wie groß ist seine Lageenergie gegenüber der Ruhelage?
c)Das Pendel wird losgelassen. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt es sich durch die Ruhelage?

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Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Welche Kräfte wirken auf einen ausgelenkten Pendelkörper?

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Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3
Schaue dir diesen Film an

1. Was ist beim Fadenpendel die Schwingungsdauer T?
2. Welche Faktoren können die Schwingungsdauer beeinflussen?
3. Wie wurde in dem Video gemessen und was war das Ergebnis?
4. Wie lautet die Formel für die Schwingungsdauer T eines Fadenpendels der Länge l für Auslenkwinkel < 10°?

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Maehnrot.jpg
Merke:

Je kürzer das Pendel desto kürzer ist die Schwingungsdauer

Dei Schwingungsdauer T eines Fadenpendels der Länge l ist
T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}

Die Schwingungsdauer ist von der Masse des Pendelkörpers unabhängig, ebenso für Auslenkwinkel < 10°.

In diesem Video sieht man, dass die Schwingungsdauer eines Fadenpendels nicht von der Masse des Pendelkörpers abhängt, sowie die Abhängigkeit von der Pendellänge.


Um dieses qualitative Ergebnis zu verifizieren, analysieren wir die Bewegung. Dazu legen wir ein Koordinatensystem in die Ruheposition.

Fadenpendel 1.jpg

Die Kraft F ist Kathete im Kräftedreieck und es ist F = G\cdot sin(\varphi) .
Für kleine Winkel \varphi gilt  sin \varphi \approx \varphi.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

In diesem Diagramm sind die Graphen der Sinusfunktion f :x → sin(x) und der Idendität g: x → x dargestellt.
Kleinwinkelnäherung 1.jpg
Was stellst du in der Nähe des Ursprungs fest? Was kannst du über die zwei Graphen bzw. deren Funktionen dort aussagen?

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Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Um die letzte Aussage näher zu untersuchen ist in der Nähe des Ursprung das Diagramm vergrößert.
Kleinwinkelnäherung 2.jpg
a) Lies aus dem Diagramm ab für welche x gilt: sin(x) = x (Die beiden Graphen liegen aufeinander.)
b) x ist eine Zahl, als Argument des Sinus ein Argument im Bogenmaß. Rechne x = 0,2 ins Gradmaß um.
c) Formuliere deine Ergebnisse.

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Maehnrot.jpg
Merke:

Kleinwinkelnäherung

Für x < 0,2 gilt sin(x) ≈ x bzw. für Winkel \varphi \leq 10^o gilt  sin(\varphi) \approx \varphi .


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 6

Welche Beziehung besteht in dieser Zeichnung
Fadenpendel 1.jpg
zwischen x, l und \varphi ?

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Also ist  \varphi = \frac{x}{l}.

Für die rücktreibende Kraft F hatten wir aus dem Kräftedreieck  F=G\cdot sin(\varphi). Ersetzt man \varphi durch \frac{x}{l}, dann erhält man F=G \cdot \frac{x}{l}.

Nun müssen wir noch die Richtungen berücksichtigen.
Wird das Pendel nach rechts (x>0) ausgelenkt, dann wirkt die Kraft FH nach links, wird der Körper nach links ausgelenkt (x<0), wirkt die Kraft FH nach rechts. In beiden Fällen ist die Kraft entgegengesetzt zu x gerichtet, sie wirkt also entgegen der Orientierung des Koordinatensystems.

Maehnrot.jpg
Merke:

Für die rücktreibende Kraft F beim Fadenpendel gilt bei Auslenkungen ≤ 10°

F=-G \cdot \frac{x}{l}

Die rücktreibende Kraft F ist also direkt proportional zur Auslenkung x.

Man hat also beim Fadenpendel ein Kraftgesetz, das wie beim Federpendel besagt, dass die rücktreibende Kraft direkt proportional zur Auslenkung ist mit F=-\cdot \frac{G}{l}\cdot x . Schaue dir als Zusammenfassung dieses Video an:

.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 7

Vergleiche das die rücktreibende Kraft des Federpendels mit der rücktreibenden Kraft der Fadenpendels.

[Lösung anzeigen]

Löst man F = m·a nach a auf, so erhält man für die Beschleunigung a beim Fadenpendel a=\frac{F}{m}=-\frac{\frac{m\cdot g}{l}}{m}\cdot x = - \frac{g}{l}\cdot x.
Beim Federpendel hatten wir auch eine Gleichung für die Beschleunigung = - Konstante mal Auslenkung. Eine solche Schwingung ist eine harmonische Schwingung.

Maehnrot.jpg
Merke:

Das Fadenpendel macht für kleine Auslenkungen eine harmonische Schwingung.

Durch Vergleich bei den Schwingungen hatte man  \omega^2 = Konstante der bei der Beschleunigung. Das bedeutet hier
 \omega^2 = \frac{g}{l}. Für die Schwingungsdauer T erhält man wegen T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{l}}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}. Das ist die Formel, die im Video aufgestellt wurde.

Maehnrot.jpg
Merke:

Für die Schwingungsdauer einer Fadenpendels bei kleinen Auslenkungen gilt

 T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} .
Nuvola apps edu science.png   Versuch

Überprüfe die Gleichung T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} auf der Seite, indem du die Werte von l, m, A, f (immer nur einen Wert variieren!) veränderst und T im Diagramm abliest.
Verdoppele bzw. halbiere die Pendellänge l.
Verdoppele bzw. halbiere die Masse m des Pendelkörpers.
Verdoppele bzw. halbiere die Auslenkung
Verdoppele bzw. halbiere die Fallbeschleunigung g.
Was passiert mit den einzelnen Größen, wenn man die Amplitude verdoppelt bzw. halbiert.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 8

Ein Sekundenpendel ist ein Pendel, das für eine Halbschwingung genau eine Sekunde benötigt.
a) Wie groß ist die Schwingungsdauer T eines Sekundenpendels?
b) Bestimme die Länge l des Sekundenpendels.
c) Welche Schwingungsdauer hat ein Pendel der Länge l = 1m?
Nach wie vielen Schwingungen geht das Pendel 1min gegenüber dem Sekundenpendel nach?
Wie lange schwingt das Pendel dabei?

[Lösung anzeigen]


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 9


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 10

Bearbeite die Aufgaben bei Leifiphysik:
a) Kinderschaukel
b) Sekundenpendel
c) Höhenbestimmung

Nuvola apps edu science.png   Versuch

Wenn ihr zuhause eine Pendeluhr habt, dann messt doch mal die Pendellänge l und die Schwingungsdauer T der Uhr und überprüft die Formel.

Nuvola apps edu science.png   Versuch

Ein Smartphone-Experiment

Nuvola apps edu science.png   Versuch

Schaue dir die zwei Videos zum Foucault-Pendel an.