M10 Der Grenzwert

Holt nun Achilles die Schildkröte ein oder nicht?

Ihr habt ein ähnliches Problem schon mal in der 6. Klasse kennengelernt.

Versuch Nimm die Brüche mit Nenner 9. Man kann diese Brüche als periodische Dezimalbrüche schreiben. Schreibe die Brüche $\frac{n}{9}$ mit n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 aus Dezimalbrüche. Was fällt dir auf? Was ist speziell bei $\frac{9}{9}$ der Fall?

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Es ist $\frac{1}{9}=0,111111111....$
$\frac{2}{9}=0,222222222....$
$\frac{3}{9}=0,333333333....$
$\frac{4}{9}=0,444444444....$
$\frac{5}{9}=0,555555555....$
$\frac{6}{9}=0,666666666....$
$\frac{7}{9}=0,777777777....$
$\frac{8}{9}=0,888888888....$
$\frac{9}{9}=0,999999999....$

Andererseits weiß man, dass $\frac{9}{9}=1$ ist, also ist auch 0,99999999.... = 1. Der Dezimalbruch 0,999999999.... hat unendlich viele Nachkommastellen und letztendlich den Wert 1.

  Aufgabe 1

Holt Achilles nun die Schildkröte ein?
Ausgangssituation: Achilles läuft mit $v_A=10\frac{m}{s}$, die Schildkröte mit $v_S=1\frac{m}{s}$ und die Schildkröte hat 10m Vorsprung.
1. Mache die Überlegung wie im Film und schaue welchen Weg Achilles, welchen Weg die Schildkröt dort zurücklegt. Wie groß ist die Wegdifferenz der beiden?

2. Nimm nun die Ausgangssituation und berechne wo Achilles und wo die Schildkröte nach 1s, 2s, 3s? Was folgerst du daraus?

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1. Achilles legt 10m + 1m + 0,1m + 0,01m + 0,001m + 0,0001m + ... = 11,1111....m zurück.
Die Schildkröte legt 1m + 0,1m + 0,01m + 0,001m + 0,0001m + ... = 1,1111m zurück.
In der Tabelle sind die Wege vom Startpunkt von Achilles aus angegegeben und die jeweilige Differenz von Achilles und der Schildkröte.

Die Wegdifferenz wird bei jedem Schritt um 0,1 kleiner.

2. Nach einer Sekunde hat Achilles 10m zurückgelegt, die Schildkröte 1m.
Nach 2s hat Achilles 20m zurückgelegt, die Schildkräte 2m. Also ist Achilles 8m vor der Schildkröte.
Nach 3s hat Achilles 30m zurückgelegt, die Schildkröte 3m. Nun ist Achilles 17m vor der Schildkröte.

Folgerung: Achilles hat die Schildkröte eingeholt und überholt.

Im folgenden Video wird hierzu auch eine Lösung gezeigt. Schaut euch dazu die ersten 5 Minuten an.

  Aufgabe 2

Bilde die Summe
1. $1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ ....$
2. $1 + \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+ ....$
Erstelle die Rechnung in einer Tabellenkalkulation. Vergrößere die Tabelle ruhig bis n = 500. Was stellst du jeweils fest?

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Die Summe mit den Kehrwerten der natürlichen Zahlen wird immer größer, während die Summe mit den Kehrwerten der Quadratzahlen bei jedem Schritt nur sehr sehr wenig dazu wächst.

  Aufgabe 3

Betrachte die Funktion $f:x \rightarrow 2 - 2\cdot \left( \frac{1}{2} \right )^x$ und berechne die Funktionswerte $f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6), ....$ mit Hilfe einer Tabellenkalkulation.
Was stellst du fest?

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Die Funktionswerte kommen der Zahl 2 sehr schnell beliebig nahe. und ab n = 36 ergibt sich auf 10 Nachkommastellen gerunden stets 2.

Merke: Nähern sich die Funktionswerte $f(x)$ für $x \rightarrow \infty$ der Zahl a beliebig nahe, dann heißt a Grenzwert oder Limes der Funktion. Man schreibt: $\lim_{x\to \infty} f(x) = a$. Man sagt auch, dass die Funktion f gegen die Zahl a konvergiert. Die Gerade y = a ist waagrechte Asymptote des Graphen Gf. Dies gilt auch analog für $x \rightarrow -\infty$.

Merke Eine Gerade y = mx + t ist eine Asymptote zum Graphen der Funktion f, wenn sich der Graph von f für $x \to \pm \infty$ beliebig nahe an die Gerade annähert. Dabei ist es möglich, dass vorher, also "vor" $x \to \pm \infty$, der Graph von f die Asymptote durchaus schneidet.

  Aufgabe 4

Betrachte Das Verhalten der Funktionswerte der Funktion
a) $f: x \rightarrow 2-2\cdot\left ( \frac{1}{2} \right )^x$ für $x \to -\infty$ und $x \to \infty$
b) $g: x \rightarrow 2^x + 1$ für $x \to -\infty$ und $x \to \infty$
c) $h: x \rightarrow sin(x)$ für $x \to -\infty$ und $x \to \infty$

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a) Die Funktionswerte der Funktion f werden für $x \to -\infty$ beliebig klein. sie werden kleiner als jede noch so kleine Zahl. Die Funktionswerte gehen gegen $-\infty$.
Man schreibt $\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty$
Für $x\to \infty$ nähern sich die Funktionswerte immer mehr 2 an.
Man schreibt $\lim_{x\to \infty} f(x) = 2$

b) Die Funktionswerte der Funktion g nähern sich für $x \to -\infty$ immer mehr der Zahl 1.
Man schreibt $\lim_{x\to -\infty} f(x) = 1$
Für $x\to \infty$ werden die Funktionswerte immer größer, sie werden größer als jede noch so große Zahl. Die Funktionswerte gehen gegen $\infty$.
Man schreibt $\lim_{x\to \infty} f(x) = \infty$

c) Die Funktionswerte der Funktion h nehmen, weil sin(x) wellenförmig ist, alle Werte zwischen -1 und 1 immer wieder an. Sie wiederholen sich belieibig oft. Es gibt keinen festen Wert am dem sich die Funktionswerte für $x \to -\infty$ und $x \to \infty$ annähern. Die Funktion h hat für $x \to -\infty$ und $x \to \infty$ keinen Grenzwert.

Merke: Für das Verhalten der Funktion f im Unendlichen hat man diese drei Fälle: 1. $\lim_{x \to \infty} f(x) = a$: Die Funktion f konvergiert gegen a. Die Gerade y = a ist waagrechte Asymptote. Beispiel: Funktion f für $x \to \infty$ und Funktion g für $x \to -\infty$. 2. $\lim_{x \to \infty} f(x) = \pm \infty$: Die Funktion f divergiert bestimmt. Ihr Graph verschwindet auf dem Zeichenblatt nach oben oder nach unten für $x \to -\infty$ und $x \to \infty$. Beispiel: Funktion f für $x \to -\infty$ und Funktion g für $x \to \infty$. 3. $\lim_{x \to \infty} f(x)$ gibt es nicht: Die Funktion f divergiert unbestimmt. Ihr Graph schwankt für $x \to -\infty$ und $x \to \infty$ hin und her und kommt keinem bestimmten Wert beliebig nahe. Beispiel: Funktion h

  Aufgabe 5

Was bedeutet die Einführung des Grenzwerts für Achilles, und die Summen von Aufgabe 1 und 2?

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Achilles: Der Weg, den Achilles läuft ist s = 11,11111111....m. Es ist $s = 11,11111....m = 11\frac{1}{9}m < 12m$. Der Weg ist endlich und die Zahlen konvergieren zu $11\frac{1}{9}$. Es gibt also einen endlichen Grenzwert. Da Achilles für 12m eine endliche Zeit braucht, nämlich 1,2s, überholt er die Schildkröte.

Summen: Die erste Summe $1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ ....$ hat keinen endlichen Grenzwert, sie divergiert, ihr Grenzwert ist $\infty$.

Die zweite Summe $1 + \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+ ....$ hat einen endlichen Grenzwert kleiner 2 (ohne Nachweis - der Grenzwert ist $\frac{\pi^2}{6}=1,64493406.....$), sie konvergiert.