M10 Funktionsgleichungen der Exponentialfunktion

Hier geht es darum aus einem Sachzusammenhang eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion zu erstellen und die Aufgabe damit zu lösen. Es geht um Exponentialfunktionen mit der Funktionsgleichung $f(x)=b\cdot a^x$.
Man hat zwei Angaben mit denen man zwei Gleichungen erhält und dann a und b berechnet.

  Aufgabe 1

Buch S. 97 / 14

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Im Jahr 2000 war die Bevölkerung 830 Millionen, 2005, also 5 Jahre später war die Bevölkerung 898 Millionen.
Das führt zu den zwei Gleichungen
1. $830\cdot 10^6 = b\cdot a^0$, wenn man im Jahr 2000 mit der Zeitrechnung beginnt. Also ist hier $b = 830\cdot 10^6$ und
2. $898\cdot 10^6=830\cdot 10^6 \cdot a^5$
Die letzte Gleichung führt zu $898 = 830 \cdot a^5$ und $a = \sqrt [5] {\frac{449}{415}}\approx 1,016$
Der jährliche Wachstumsfaktor ist a = 1,016. Die Bevölkerung nimmt jährlich um 1,6% zu.
Das Wachstumsgesetz lautet $f(x)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^x$.

b) $f(25)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^{25}=1234\cdot 10^6$, $f(50)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^{50}=1836\cdot 10^6$

  Aufgabe 2

Buch S. 97 / 15

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a) Bei einer exponentiellen Abnahme nimmt die Konzentration anfangs stark ab und am Ende wenig. Daher wirkt es am Anfang stärker und die Wirkung nimmt gegen Ende ab.

b) Ansatz: $c(t)=b\cdot a^{t}$. Es ist $c(3)=8,4$ und $c(8) = 6,3$. Man hat also zwei Gleichungen:
(1) $8,4 = b\cdot a^{3}$ und
(2) $6,3 = b\cdot a^{8}$
Dividiert man die Gleichungen (1):(2) erhält man $\frac{8,4}{6,3}=a^{^-5}$ und $a = \sqrt [5]{\frac{6,3}{8,4}} =\sqrt [5]{0,75}\approx 0,944$.
Die Anfangskonzentration b erhält man, indem man den Wert von a in eine der Gleichungen einsetzt und nach b auflöst.
$8,4=b \cdot 0,944^3$ ergibt $b = 9,985$. Also war die Anfangskonzentration etwa 10 mg/l.
Die Abnahme pro Stunde ist 0,056 = 5,6%.

c) $c(12)=10\cdot 0,994^{12}=5,0$ und $c(24)=10 \cdot 0,994^{24}=2,5$

d) Tabletten sollten nach Vorschrift eingenommen werden um eine möglichst hohe Wirksamkeit zu erzielen.

Bemerkung: Man hätte auch einen Ansatz $c(t)=b\cdot a^{-t}$ in b) machen können, dann wäre a = 1,06. Die Abnahme wird durch das - im Exponenten berücksichtigt.

  Aufgabe 3

Buch S. 97 / 16

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Ansatz $p(h)=b\cdot a^h$
a) Man setzt die Werte ein und erhält zwei Gleichungen
(1) $915 = b\cdot a^{708}$ und
(2) $689 = b \cdot a^{2963}$
Dividiert man (2):(1) erhält man $\frac{689}{915}=a^{2255}$ und $a = \sqrt [2255]{\frac{689}{915}}=0,9998742$

Man soll allerding die Abnahme pro km angeben. Dazu macht man die analoge Rechnung mit km.
(1) $915 = b\cdot a^{0,708}$ und
(2) $689 = b \cdot a^{2,963}$
Dividiert man (2):(1) erhält man $\frac{689}{915}=a^{2,255}$ und $a = \sqrt [2,255]{\frac{689}{915}}=0,881789\approx 0,882$
Die Abnahme pro km ist also 0,118 = 11,8%.

$915 = b \cdot 0,9998742^{708}$ ergibt $b=1000$.
Die Luftdruckformel ist $p(h)=1000\cdot 0,9998742^h$.
In Meereshöhe (h = 0) ist der Luftdruck 1000 hPa.
Pro 1 km nimmt der Luftdruck um 11,8% ab.

b)

c) Bei $\Delta$h = 5510 m halbiert sich jeweils der Luftdruck.

d) $p(4807)=1000\cdot 0,9998742^{4807}=556$
$p(8850)=1000\cdot 0,9998742^{8850}=328$

$p(-400)=1000\cdot 0,9998742^{-400}=1052$