M10 Grenzwert und Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen

Merke: Für die Exponentialfunktion $f: x \rightarrow a^x$ mit a > 0 gilt: 0 < a < 1: $\lim_{x \to -\infty} a^x = \infty$ und $\lim_{x \to \infty} a^x = 0$ Die positive x-Achse ist Asymptote für $x \to \infty$. 1 < a: $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0\ \$ und $\lim_{x \to \infty} a^x = \infty \ \$ Die negative x-Achse ist Asymptote für $x \to -\infty$.

  Aufgabe 1

Buch S. 124 / 2
Buch S. 125 / 3

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124/2 Man weiß von Exponentialfunktionen $f:x\rightarrow a\cdot b^x$, dass $f(0)=a$ und $f(1)=a\cdot b$ ist. Wenn a = 1 ist, dann ist $f(0)=1, f(1)=b$. Damit findet man leicht die Zuordnung Term - Graph.
A - k
B - f
C - m
D - h
E - g

125/3a) $\lim_{x\to \infty}= \infty$, die Funktion divergiert für $x \to \infty$
b) Die Funktion konvergiert für $x \to \infty$, es ist $\lim_{x\to \infty}= -2$ (?)
c) Die Funktion konvergiert für $x \to \infty$, es ist $\lim_{x\to \infty}= 0$
d) Die Funktion konvergiert für $x \to \infty$, es ist $\lim_{x\to \infty}= 3$ (?)
e) Die Funktion divergiert unbestimmt für $x \to \infty$

f) Die Funktion divergiert unbestimmt für $x \to \infty$

  Aufgabe 2

Buch S. 126 / 6
Buch S. 126 / 7
Buch S. 126 / 8

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126/6
a) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty$ divergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = 0$ konvergiert
b) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty$ divergiert
c) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty$ divergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = -2$ konvergiert
d) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty$ divergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = 3$ konvergiert
e) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 2$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = -\infty$ divergiert
f) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty$ divergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = -2$ konvergiert
g) Für diese Funktion kann man keinen Grenzwert angeben, da ihre Funktionswerte immer zwischen 1 und 3 hin und hergehen.
h) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty$ divergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty$ divergiert
i) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty$ divergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty$ divergiert
k) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = 0$ konvergiert
l) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 2$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = 2$ konvergiert
m) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = -3$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = -3$ konvergiert
n) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = 0$ konvergiert
o) Die Funktion divergiert unbestimmt.
p) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = 0$ konvergiert

126/7
a) Ist möglich, da z.B. $f_a:x \rightarrow 1 - 2^{-x}$ stets unter der Geraden y = 1 verläuft.

b) Ist möglich, da die Funktion $f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}$ oberhalb und unterhalb der Geraden y = 1 verläuft.
c) Ist falsch, denn wenn der Graph von f stets oberhalb der Gerade y = 1 verläuft und die Funktionswerte mit wachsenden x auch größer werden, dann kann der Grenzwert für $x \to \infty$ nicht 1 sein.
d) Ist möglich bei der Funktion $f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}$.
e) Ist möglich bei der Funktion $f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}$.
Muss aber nicht sein, es gibt auch Funktionen, deren Abstand zur Geraden y = 1 erst ab Werten x > 1000 kleiner als 1/100 ist. Z.B. ist für die Funktion $f:x \rightarrow 1 + \frac{10}{x}$ f(100)=1,1 und damit ist der Abstand zur Geraden 0,1 und f(1000)=1,01.
f) Der Term (-1)ⁿ nimmt für n = 1, 2, 3, 4, ... die Werte -1, 1, -1, 1, .... an. Die Funktionswerte alternieren stets und der Grenzwert ist nicht bestimmt. Also ist die Aussage falsch.
g) Diese Funktionswerte nähern sich mit wachsendem n immer mehr der Zahl 1 an, obwohl sie auch hier stets wechselndes Vorzeichen haben.

126/8
a) $f:x \rightarrow 2^{-x}$
b) $f:x \rightarrow \frac{1}{x^2}$
c) $f:x \rightarrow x^2$
d) $f:x \rightarrow 2+2^{-x}$
e) $f:x \rightarrow 2+\frac{1}{x}$
f) $f:x \rightarrow \frac{1}{x^2}$
g) $f:x \rightarrow 1,5x$
h) $f:x \rightarrow -2cos(x)$

Zum Überprüfen die Funktionsterme in GeoGebra eingeben!

  Aufgabe 3

Buch S. 127 / 9

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a,b)

c) Ansatz: $w_n=a-b\cdot 0,6^n$.
Für n = 1 ist w₁ = 0, also I: $0 = a - b\cdot 0,6$
Für n = 2 ist w₂ = 6, also II: $6 = a - b \cdot 0,36$
II - I: 6 = 0,24b ergibt b = 25, a = 15
$w_n=15-25\cdot 0,6^n$

Bei diesem Ansatz geht man von einem Sättigungswert a aus, der durch die regelmäßige Einnahme erreicht wird.

d) Aus dem Graphen der Funktion aus c) sieht man, dass der Wirkstoff im Körper sich dem Wert 15 annähert.
Setzt man die Tabelle aus a) fort

so sieht man, dass w vor der Einnahme gegen 15 konvergiert.
Der Grenzwert für die Wirkstoffmenge ist $\lim_{n \to \infty} w_n = 15$ Dies ist der Sättigungswert des Wirkstoffes im Körper, der sich auf lange Sicht einstellen wird.

e) $w_n=15-25\cdot 0,6^n$ ist der Wirkstoff am Tag n vor der Einnahme. Nimmt man nun das Medikament ein, dann erhöht sich der Wert $w_n + 10$ und wird im Verlauf der nächsten 24 Stunden um 40% reduziert. Es ist dann $w_{n+1}=(15-25\cdot 0,6^n+10)\cdot 0,6=(25 - 25\cdot 0,6^n)\cdot 0,6=15-25\cdot 0,6^n \cdot 0,6 =15 - 25\cdot 0,6^{n+1}$