M10 Grenzwert und gebrochen-rationale Funktionen

Bei den gebrochen-rationalen Funktionen hat man auch schon das Verhalten für $x \rightarrow \pm \infty$ betrachtet.

Merke: Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt. Der Wert für x für den der Nenner Null wird heißt Definitionslücke.

Die Funktion der indirekten Proportionalität $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ für $x \not= 0$ ist die einfachste gebrochen-rationale Funktion.
Ihr Graph ist eine Hyperbel und besteht aus zwei Hyperbelästen.

An der Stelle x = 0 ist die Funktion nicht definiert. Ihr Graph nähert sich der y-Achse (x = 0) beliebig nahe an. Die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote. Betrachtet man die Funktion für sehr große x, d.h. $x \rightarrow \infty$ oder sehr kleine x, d.h. $x \rightarrow -\infty$ dann nähert sich der Graph beliebig nahe an die x-Achsse an. Die x-Achse ist eine waagrechte Asymptote.

Mit dem Grenzwert kann man dies nun schreiben:
Verhalten für $x \rightarrow \pm \infty$: $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x}=\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x}=0$

Verhalten für $x \rightarrow 0$: $\lim_{x \to -0} \frac{1}{x}= -\infty; \lim_{x\to +0} \frac{1}{x}=\infty$, dabei bedeutet -0, dass man von links an 0 herangeht und bei +0 geht man von rechts zu 0.

Ähnliches Verhalten zeigen alle Funktionen $f: x \rightarrow \frac{1}{x^n}, x \ne 0, n \in N$

Merke: Für Bruchfunktionen $f: x \rightarrow \frac{1}{x^n}$ mit n $\in$ N ist $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = 0$ und $\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x^n}=0$ Wenn n ungerade ist: $\lim_{x \to -0} \frac{1}{x^n}= -\infty; \lim_{x\to +0} \frac{1}{x^n}=\infty$, wenn n gerade ist: $\lim_{x \to -0} \frac{1}{x^n}= \lim_{x\to +0} \frac{1}{x^n}=\infty$

Im folgenden Applet ist der Graph der Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0$ als Anfangsgraph dargeste. Desweiteren ist die waagrechte Asymptote y = 0 lila eingezeichnet. Diesmal ist ein Schieberegler für c gegeben. Wir wollen als nächstes Funktionen betrachten, bei denen zum Funktionsterm $\frac{2}{x}$ der Wert von c addiert wird. Wir haben dann also eine Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x} + c, x\neq 0$ . Eingestellt ist der Wert c = 0. Bewegst du den Schieberegler, ändert sich der Wert von c.

  Aufgabe 1

Veränderte in obigen Applet den Wert von c indem du den Schieberegler betätigst.
a) Wo hat die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x} + c$ eine Definitionslücke? Gib die Definitionsmenge an.
b) Was passierte mit dem gezeichneten Graphen für c = 0 als du den Schieberegler bewegt hast?
c) Welchen besonderen Namen hat auch dieser Graph?
d) Lies aus dem Applet die Geradengleichung der waagrechten lila Geraden ab.
e) Was passiert mit der eingezeichneten waagrechten Asymptote.

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a) a) Die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x} + c, x\neq 0$ hat bei x = 0 eine Definitionslücke. D = Q\{0}. Sie ändert sich bei Variation von c nicht.
b) Der Graph wird für positive c nach oben (in positive y-Richtung) verschoben. Für negative c wird er nach unten (in negative y-Richtung verschoben.
c) Es handelt sich auch hier um eine Hyperbel.
d) y = c, wobei c der gerade am Schieberegler eingestellte Wert ist.

e) Die waagrechte Asymptote wird wie der Graph verschoben, also für c > 0 nach oben und für c < 0 nach unten.

Merke Die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x} + c, x\neq 0$ ist nicht definiert für x = 0, dort hat sie eine Defintionslücke, ihre Definitionsmenge ist D = Q\{0}. Ihr Graph ist eine Hyperbel. Man erhält diese Hyperbel, indem man die Hyperbel der Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0$ um c in Richtung der y-Achse verschiebt.Die Hyperbel hat zwei Asymptoten, eine senkrechte Asymptote x = 0 (unabhängig von c und an der Stelle der Definitionslücke) und eine waagrechte Asymptote y = c. $\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x}+c = c$ und $\lim_{x\to \infty} \frac{2}{x}+c=c$

Wir betrachten als nächstes die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x-b}, x\neq b$ . Im folgenden Applet ist für b der Anfangswert 0 eingestellt. Mit dem Schieberegler (b = 0) kannst du den Wert von b verändern.

  Aufgabe 2

Verändere im obigen Applet den Wert von b indem du den Schieberegler betätigst.
a) Wo hat die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x-b}$ eine Definitionslücke? Gib die Definitionsmenge an. b) Was passierte mit dem gezeichneten Graphen für b = 0 als du den Schieberegler bewegt hast?
c) Welchen besonderen Namen hat auch dieser Graph?
d) Lies aus dem Applet die Geradengleichung der senkrechten roten Geraden ab.
e) Was passiert mit der eingezeichneten senkrechten Asymptote.
f) Gib die waagrechte Asymptote an.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) Die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x-b}$ hat bei x = b eine Definitionslücke. D = Q\{b}. b nimmt stets den durch den Schieberegler eingestellten Wert an.
b) Der Graph wird für positive b nach rechts (in positive x-Richtung) verschoben. Für negative b wird er nach links (in negative x-Richtung) verschoben.
c) Es handelt sich auch hier um eine Hyperbel.
d) x = b, wobei b der gerade am Schieberegler eingestellte Wert ist.
e) Die senkrechte Asymptote wird wie der Graph verschoben, also für b > 0 nach rechts und für b < 0 nach links.

f) Die waagrechte Asymptote ist die x-Achse y = 0. Sie ändert sich bei Betätigung des Schiebereglers nicht.

Merke Die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x-b}, x\neq b$ ist nicht definiert für x = b, dort hat sie eine Defintionslücke, ihre Definitionsmenge ist D = Q\{b}. Ihr Graph ist eine Hyperbel. Man erhält diese Hyperbel, indem man die Hyperbel der Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0$ um b in Richtung der x-Achse verschiebt. Die Hyperbel hat zwei Asymptoten, eine senkrechte Asymptote x = a (an der Stelle der Definitionslücke) und eine waagrechte Asymptote y = 0 (unabhängig von a). $\lim_{x \to -b} \frac{2}{x-b} = -\infty$ und $\lim_{x\to +b} \frac{2}{x-b}=\infty$ $\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x-b} = \lim_{x\to \infty} \frac{2}{x-b}= 0$

Fasst man beide Aussagen zusammen, dann erhält man:

Merke: Die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x-b} + c, x\neq b$ ist nicht definiert für x = b, dort hat sie eine Defintionslücke, ihre Definitionsmenge ist D = Q\{b}. Ihr Graph ist eine Hyperbel. Man erhält diese Hyperbel, indem man die Hyperbel der Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0$ um b in Richtung der x-Achse und um c in Richtung der y-Achse verschiebt.Die Hyperbel hat zwei Asymptoten, eine senkrechte Asymptote x = b (an der Stelle der Definitionslücke)und eine waagrechte Asymptote y = c. $\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x-b} +c= c$ und $\lim_{x\to \infty} \frac{2}{x-b}+c=c$ $\lim_{x \to -b} \frac{2}{x-b}+c = -\infty$ und $\lim_{x\to +b} \frac{2}{x-b}+c=\infty$

Die Veränderung von b und c kannst du im folgenden Applet ausprobieren.
Zuerst ist die Funktion $f: x\rightarrow \frac{1}{x}$ dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter $b$ und $c$ verändern. $b$ ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als $x-b$ hinzugefügt wird, $c$ wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion $f: x\rightarrow \frac{1}{x-b}+c$ betrachten kannst.

  Aufgabe 3