M10 Symmetrie

Es gibt zwei verschiedene Arten von Symmetrien zum Koordinatensystem:

Achsensymmetrie zur y-Achse

Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Graph auf der linken Seite der y-Achse ein Spiegelbild der rechten Seite ist. Die y-Achse ist Symmetrieachse des Graphen von f.
Rechnerisch bedeutet dies, dass f(-x)=f(x) ist.

Merke: Gilt für die Funktion f, dass f(-x) = f(x) ist, dann ist der Graph von f achsensymmetrisch zur y-Achse.

  Aufgabe 1

Zeige, dass die Graphen der Funktion f mit
a) f(x) = x² - 2
b) f(x) = $2 + \frac{1}{x^2}$
achsensymmetrisch zur y-Achse sind.

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Man überprüft das, indem man in den Funktionsterm von f statt x nun -x einsetzt. Wenn der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, dann muss man den gleichen Term f(x) wieder erhalten.
a) f(-x) = (-x)² - 2 = x² - 2 = f(x)

b) f(-x) = $2 + \frac{1}{(-x)^2}=2+\frac{1}{x^2}$ = f(x)

Punktsymmetrie zum Ursprung

Der Graph einer Funktion f ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn man ihn um 180° drehen kann und man wieder den gleichen Graph erhält. Oder macht man zwei Achsenspiegelungen an der x-Achse und an der y-Achse und erhält wieder den Graphen von f.
Rechnerisch bedeutet dies, dass f(-x)= - f(x) ist.

Merke: Gilt für die Funktion f, dass f(-x) = - f(x) ist, dann ist der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung y-Achse.

  Aufgabe 2

Zeige, dass die Graphen der Funktion f mit
a) f(x) = x
b) f(x) = $\frac{5}{x}$
punktsymmetrisch zum Ursprung sind.

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Man überprüft das, indem man in den Funktionsterm von f statt x nun -x einsetzt. Wenn der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, dann muss man den gleichen Term f(x) wieder erhalten.
a) f(-x) = -x = - f(x)

b) f(-x) = $\frac{5}{-x}=-\frac{5}{x}$ = - f(x)

Aufgaben

  Aufgabe 3

Untersuche die Graphen der Funktion f auf Achsensymmetrie zur y-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Ursprung.

a) f(x) = x⁴ - x² +1
b) f(x) = 24x⁸ + 8x⁶ - 1234
c) f(x) = 2 + x
d) f(x) = cos(x)
e) f(x) = x² cos(x) + 2
f) f(x) = x² + 2x
g) f(x) = sin(x)
h) f(x) = x sin(x)
i) f(x) = x² sin(x)
k) f(x) = $\frac{x^3 - 2x}{x^2+1}$
l) f(x) = x³ + 5x²

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Man setzt in f(x) wieder -x statt x ein und schaut ob man mit Termumformungen f(x) oder - f(x) erhält.

a) f(-x) = (-x)⁴ - (-x)² +1 = x⁴ - x² +1 = f(x), also ist G_f achsensymmetrisch zur y-Achse.
b) f(-x) = 24(-x)⁸ + 8(-x)⁶ - 1234 = 24x⁸ + 8x⁶ - 1234 = f(x), also ist G_f achsensymmetrisch zur y-Achse.
c) f(-x) = 2 + (-x) = 2 - x $\neq$ f(x) oder - f(x), also ist G_f weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
d) f(-x) = cos(-x) = cos(x) = f(x), also ist G_f achsensymmetrisch zur y-Achse.
e) e) f(-x) = (-x)² cos(-x) + 2 = x² cos(x) + 2 = f(x), also ist G_f achsensymmetrisch zur y-Achse.
f) f(-x) = (-x)² + 2(-x) = x² - 2x $\neq$ f(x) oder - f(x), also ist G_f weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
g) f(-x) = sin(-x) = - sin(x) = - f(x), also ist G_f punktsymmetrisch zum Ursprung.
h) f(-x) = -x sin(-x) = -x [-sin(x)] = x sin(x) = f(x), also ist G_f achsensymmetrisch zur y-Achse.
i) f(-x) = (-x)² sin(-x) = x² [-sin(x)] = - x² sin(x) = -f(x), also ist G_f punktsymmetrisch zum Ursprung.
k) f(-x) = $\frac{(-x)^3 - 2(-x)}{(-x)^2+1}= \frac{-x^3 + 2x}{x^2+1} = \frac{-[x)^3 - 2x}{x^2+1}=-\frac{x^3 - 2x}{x^2+1}$ = - f(x), also ist G_f punktsymmetrisch zum Ursprung.

l) f(-x) = (-x)³ + 5(-x)² = - x³ + 5x² $\neq$ f(x) oder - f(x), also ist G_f weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

  Aufgabe 4

Welche Graphen der Potenzfunktionen f mit f(x) = xⁿ, wobei n eine natürliche Zahl ist sind
a) achsensymmetrisch zur y-Achse
b) punktsymmetrisch zum Ursprung?

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Ist n gerade, dann ist der Graph der Potenzfunktion f mit f(x) = xⁿ achsensymmetrisch zur y-Achse.

Ist n ungerade, dann ist der Graph der Potenzfunktion f mit f(x) = xⁿ punktsymmetrisch zum Ursprung.

Merke Der Graph Gf einer Potenzfunktion f mit f(x) = xn ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Exponent n gerade ist, er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Exponent n ungerade ist.

  Aufgabe 5

Wann ist der Graph einer Polynomfunktion f mit f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1+ ... a₁x + a₀ achsensymmetrisch zur y-Achse bzw. punktsymmetrisch zum Ursprung?

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Hat die Polynomfunktion f nur x-Potenzen mit geradzahligen Exponenten, dann ist ihr Graph G_f achsensymmetrisch zur y-Achse.

Hat die Polynomfunktionf nur x-Potenzen mit ungeradzahligen Exponenten, dann ist ihr Graph G_f punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beachte: a₀ = a₀·x⁰ und 0 ist eine gerade Zahl!

Merke: Der Graph Gf einer Polynomfunktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn das Polynom nur x-Potenzen mit geradzahligen Exponenten hat. punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn das Polynom nur x-Potenzen mit ungeradzahligen Exponenten hat.

  Aufgabe 5

Welche Symmetrie haben die Graphen der Polynomfunktion f mit

a) f(x) = 5x⁶ + 4x² - 25?
b) f(x) = 9x⁷ - 3x⁵ +27x?
c) f(x) = 3x⁷ + 2x⁴ - 3x +1?

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a) f hat nur x-Potenzen mit geradzahligen Exponenten, also ist G_f achsensymmetrisch zur y-Achse.
b) f hat nur x-Potenzen mit ungeradzahligen Exponenten, also ist G_f punktsymmetrisch zum Ursprung.

c) f hat x-Potenzen mit geradzahligen und ungeradzahligen Exponenten, also hat G_f keine Symmetrie zum Koordinatensystem. G_f ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung.