Aufgabe Wiederholung des Logarithmus
Merke:
Die natürliche Logarithmusfunktion (ln-Funktion) ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.
Die ln-Funktion hat folgende Eigenschaften:
- Der Graph hat genau eine Nullstelle (1;0), es ist ln(1) = 0.
- Der Graph der ln-Funktion ist streng monoton steigend.
- Die negative y-Achse ist Asymptote.
- Für ist .
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Die Ableitung der ln-Funktion erhält man aus der Tatsache, dass die ln-Funktion Umkehrfunktion zur e-Funktion ist. Für ist die Umkehrfunktion. Damit ist . Für die Ableitung gilt hier ( und mittels der Kettenregel erhält man
. Dies führt wieder zur Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion .
Die Ableitung der e-Funktion ist .
Damit erhält man für die Umkehrfunktion als Ableitung:
.
Also ist die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion .
Im folgenden Applet kann man diese Aussage über die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion verifizieren. Über dem x-Wert des Punktes auf dem Graphen der ln-Funktion wird die Steigung der Tangente in dem Punkt an den Graphen angetragen. Dieser Punkt liegt auf der Hypberbel .
Merke:
Die Ableitung von ist
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Aufgabe Wiederholung der Rechengesetze Logarithmus
Aufgabe 1
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Aufgabe 2
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a) D = R\{0}, ,
Oder mit ln(x2) = 2ln(x) erhält man .
b) 2x + 3 > 0 ergibt x > -1,5, also D = ]-1,5;[, ,
c) D = R+, ,
d) D = R+, , f'(e) = 1
e) D = R+; , .
f) D = R+, ,
g) Hier muss man bei der Bestimmung der Definitionsmenge darauf achten, wo das Argument des Logarithmus positiv ist. Dies ist der Fall, wenn Zähler und Nenner beide positiv oder beide negativ sind.
x-1 > 0 und x+1 > 0 ist für x > 1 bzw. x > -1, also x > 1 der Fall.
x-1 < 0 und x+1 < 0 ist für x < 1 bzw. x < -1, also x < -1 der Fall. Damit ist D=];-1[]1;[.
,
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion .
a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge Dmax
b) Hat f Nullstellen? Wenn ja, bestimmen Sie diese.
c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.
d) Bestimmen Sie die Asymptoten von Gf.
e) Zeichnen sie Gf.
f) Begründen Sie, dass die Funktion f umkehrbar ist und gegeben Sie die Umkehrfunktion f-1 an.
Betrachten Sie die Terme f(x) und F-1(x). Was fällt Ihnen auf? Deuten Sie dies geometrisch.
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Das Argument eines Logarithmus muss positiv sein, also ist . Dies führt zur Gleichung . Die Funktion g mit g(x) = e-x ist eine abnehmende e-Funktion, die Funktionswerte kleiner als 1 für x > 0 hat. Also ist Dmax = R+.
b) f(x) = 0 hat Lösungen, wenn der Logarithmus ln(1) = 0 ist, also muss das Argument die Gleichung erfüllten. Umgeformt erhält man . Das ist eine nicht lösbare Gleichung, da man weiß, dass die Exponentialfunktion g mit g(x) = e-x > 0 ist. Also hat f keine Nullstellen.
c) Für die Monotonie untersucht man die 1. Ableitung von f. f'(x) erhält man mit Hilfe der Ableitung der ln-Funktion und der mehrfachen Verwendung der Kettenregel. Mit z = 1 - e-x und w = -x ergibt sich
Für x > 0 ist 0 < e-x < 1. Damit sind Zähler und Nenner positiv und f'(x) < 0. Also ist f in R+ streng monoton abnehmend.
d) Asymptoten hat man, wenn x gegen die Ränder der Definitionsmenge geht. Hier muss man und betrachten.
:
Es ist , da für x < 1 das Argument 1-e-x < 1 und ln(1-e-x) < 0 ist. Damit geht ist und .
Damit ist die positive y-Achse Asymptote für .
Es ist , da und <mat>0 < 1-e^{-x} < 1</math>ist. Also geht f(x) für von oben gegen die x-Achse.
Die positive x-Achse ist Asymptote für .
e)
f) Den Term der Umkehrfunktion f-1 erhält man indem man die Gleichung nach x auflöst und dann x und y vertauscht.
x und y vetauschen:
f und f-1 haben den gleichen Term. Im xy-Diagramm liegen beide Graphen aufeinandern.
Dies bedeutet, dass der Graph von f in sich symmetrisch zur Geraden y = x ist.
Es ist . Dann ist .
Merke:
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Aufgabe 4
Leiten Sie ab
a) f mit f(x) = log10(x)
b) f mit f(x) = log2(x)
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a)
b)