M11 Ableitung der Logarithmusfunktionen

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Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe Wiederholung des Logarithmus

Zur Wiederholung des Logarithmus: M10_Der_Logarithmus

Maehnrot.jpg
Merke:

Die natürliche Logarithmusfunktion (ln-Funktion) ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.

Die ln-Funktion f:x \to ln(x) hat folgende Eigenschaften:

  • D = R+, W = R
Ln-funktion.jpg
  • Der Graph hat genau eine Nullstelle (1;0), es ist ln(1) = 0.
  • ln(e) = 1
  • Der Graph der ln-Funktion ist streng monoton steigend.
  • Die negative y-Achse ist Asymptote.
  • Für x \to \infty ist ln(x) \to \infty.


Die Ableitung der ln-Funktion erhält man aus der Tatsache, dass die ln-Funktion Umkehrfunktion zur e-Funktion ist. Für f:x\to e^x ist f^{-1}:x \to ln(x) die Umkehrfunktion. Damit ist f \circ f^{-1}(x)=x. Für die Ableitung gilt hier (f \circ f^{-1'} = 1 und mittels der Kettenregel erhält man
f'(f^{-1}(x))\cdot f^{-1'}(x) = 1. Dies führt wieder zur Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}.
Die Ableitung der e-Funktion ist f '(x) = e^x.
Damit erhält man für die Umkehrfunktion f^{-1}:x \to ln(x) als Ableitung:
f'(x) = \frac{1}{f'(ln(x))}=\frac{1}{e^{ln(x)}}=\frac{1}{x}.
Also ist die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ( ln(x))' = \frac{1}{x}.

Im folgenden Applet kann man diese Aussage über die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion \frac{1}{x} verifizieren. Über dem x-Wert des Punktes auf dem Graphen der ln-Funktion wird die Steigung der Tangente in dem Punkt an den Graphen angetragen. Dieser Punkt liegt auf der Hypberbel \frac{1}{x}.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Ableitung von ln(x) ist (ln(x))' = \frac{1}{x}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe Wiederholung der Rechengesetze Logarithmus

Produkt: \log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y
Quotient: \log_b \frac xy = \log_b x - \log_b y
Potenz: \log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.

Wurzel: \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac 1n\log_b x.

Basisumrechnung: \log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}

Und hier: viele Beispiele und Aufgaben und Aufgaben mit Lösungen.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Leiten Sie ab
a) f(x) = ln(4x)
b) f(x) = ln(\sqrt{x^2 + 5})
c) f(x) = ln(cos(x)) für cos(x) > 0
d) f(x) = ln((sin x)^2 + (cos x)^2)

[Lösung anzeigen]


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Bestimmen Sie zuerst für f die Definitionsmenge D. Bilden Sie dann f'(x) und berechnen Sie f'(x0).
a) f(x) = ln(x2), x 0 = 4
b) f(x) = ln(2x+3), x0 = 1
c) f(x) = \frac{x}{ln(x)}, x0 = 2
d) f(x) = x ln(x) - x , x0 = e
e) f(x) = ex ln(x), x0 = 1
f) f(x) = ln(\sqrt x), x0 = e-4
g) f(x) = ln(\frac{x-1}{x+1}), x0 = -e

[Lösung anzeigen]


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion f: x \rightarrow - ln(1-e^{-x}).
a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge Dmax
b) Hat f Nullstellen? Wenn ja, bestimmen Sie diese.
c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.
d) Bestimmen Sie die Asymptoten von Gf.
e) Zeichnen sie Gf.
f) Begründen Sie, dass die Funktion f umkehrbar ist und gegeben Sie die Umkehrfunktion f-1 an.
Betrachten Sie die Terme f(x) und F-1(x). Was fällt Ihnen auf? Deuten Sie dies geometrisch.

[Lösung anzeigen]


Es ist log_b(a)=\frac{ln(a)}{ln(b)}. Dann ist (log_b(x))' = \left (\frac{ln(x)}{ln(b)} \right )=\frac{1}{ln(b)}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln(b)} .

Maehnrot.jpg
Merke:
log_b(a) =\frac{1}{x\ln(b)}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Leiten Sie ab
a) f mit f(x) = log10(x)
b) f mit f(x) = log2(x)

[Lösung anzeigen]