M11 Aufgaben und Anwendungen der Vektorrechnung

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Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Buch S. 120 / 1
Buch S. 120 / 4
Buch S. 121 / 5

1. Gesucht sind die Punktkoordinaten, diese werden waagrecht an den Punktnamen angefügt.
A(6;0;0); B(6;12;0), C(0;12;0), D(0;0;0), E(6;0;7), F(6;12;7), G(0;12;7), H(0;0;7)
M1 ist der Schnittpunkt der Flächendiagonale der unteren Fläche. Für den Ortsvektor \vec {m_1} des Mittelpunktes der Strecke [DB] hat man die Formel \vec {m_1}=\frac{1}{2}(\vec d + \vec b. Dies liefert dann aie Koordinaten des Schnittpunktes.
M1(3;6;0), M3(3;12;3,5), M6(3;6;7) und M(3;6;3,5)


4. a) \vec {AB}= \vec b - \vec a = \left ( \begin{array}{c} -5 \\\ 1  \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -7 \\\ -2  \end{array}\right) und \vec {BA}= -\vec {AB}= \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 2  \end{array}\right)

b) \vec {AB}= \vec b - \vec a = \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ -1 \\\ -4 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} -5 \\\ 1 \\\ -2  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 10 \\\ -2 \\\ -2 \end{array}\right) und \vec {BA}= -\vec {AB}= \left ( \begin{array}{c} -10 \\\ 2 \\\ 2  \end{array}\right)

c) \vec {AB}= \vec b - \vec a = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \\\ 3 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2  \\\ 1 \\\ -3  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2 \\\ 6 \end{array}\right) und \vec {BA}= -\vec {AB}= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\  -6  \end{array}\right)


5. In dem gezeichneten Koordinatensystem im Buch ist keine Achsenskalierung angegeben. Für die Angaben wurden jeweils zwei Kästchen als 1 LE angenommen.
\vec a= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1  \end{array}\right), \vec b = \left ( \begin{array}{c} -1,5 \\\ 1,5  \end{array}\right), \vec c = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0  \end{array}\right), \vec d= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2  \end{array}\right), \vec e = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2  \end{array}\right), \vec f = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2  \end{array}\right)
a) \vec a + 2 \vec b + \vec c = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1  \end{array}\right) + 2\cdot  \left ( \begin{array}{c} -1,5 \\\ 1,5  \end{array}\right) +  \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0  \end{array}\right) =  \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2  \end{array}\right)
b) \vec c + \vec d - \vec a =  \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0  \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2  \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ -1  \end{array}\right)
c)  \vec e - \vec f + 2\vec c + \vec d = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2  \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2  \end{array}\right) + 2\cdot  \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0  \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ -2  \end{array}\right)

d) \vec a + \vec b + \vec c + \vec d + \vec e + \vec f + \left ( \begin{array}{c} 7,5 \\\ 0  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1  \end{array}\right) +   \left ( \begin{array}{c} -1,5 \\\ 1,5  \end{array}\right) +  \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0  \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2  \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2  \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2  \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 7,5 \\\ 0  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 15 \\\  2,5 \end{array}\right)


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Buch S. 121 / 10

Ausgangspunkt ist die Funktion  f : x \rightarrow \frac{1}{x} D=R\{0},
Die Definitionslücke ist bei x = 0. Die beiden Hyperbeläste sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

1-x.jpg
.

a) Die Funktion f_1: x \rightarrow \frac{1}{x-1} hat die Definitionslücke bei x = 1. Also wird der Graph der Funktion f um 1 nach rechts in x-Richtung verschoben.
Zu jedem Funktionswert wird 4 addiert. Also wird zusätzlich noch in y-Richtung um 4 nach oben verschoben.
Das Symmetriezentrum ist nun (1;4) und der Verschiebungsvektor \vec u = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 4  \end{array}\right). Der grüne Graph der Funktion f wird um 1 nach rechts und 4 nach oben verschoben. Man erhält den roten Graph der Funktion  f_1.

b) Die Funktion f_2: x \rightarrow \frac{1}{x+2} hat die Definitionslücke bei x = -2. Also wird der Graph der Funktion  f um -2 in x-Richtung (um 2 nach links) verschoben.
In y-Richtung passiert nichts.
Das Symmetriezentrum ist nun (-2;0) und der Verschiebungsvektor  \vec v = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0  \end{array}\right) . Der grüne Graph der Funktion f wird um 2 nach links verschoben und man erhält den blauen Graph der Funktion f_2.

121-10.jpg


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Bestimmen Sie die Koordinaten
1. des Mittelpunkts der Strecke [AB] mit
a) A(0;3;-4) und B(-6;1;-2)
b) A(8;0,5;-5) und B(-3;1,5;-1)
2. den Schwerpunkt des Dreiecks ABC mit A(-2;0;3), B(5;2;1) und C(0;4;2)

1a) \vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{2} \cdot \left [ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3  \\\ -4 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} -6 \\\ 1  \\\ -2 \end{array}\right) \right ] = \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 2  \\\ -3 \end{array}\right)
b) \vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{2} \cdot \left [ \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ 0,5  \\\ -5 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 1,5  \\\ -1 \end{array}\right) \right ] = \left ( \begin{array}{c} 2,5 \\\ 1  \\\ -3 \end{array}\right) und M(2,5;1;-3)

2. \vec s=\frac{1}{3}(\vec a + \vec b + \vec c) = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0  \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2  \\\ 1 \end{array}\right) +  \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 4  \\\ 2 \end{array}\right) \right ]= \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 6  \\\ 6 \end{array}\right) =  \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2  \\\ 2 \end{array}\right) und S(1;2;2)


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Buch S. 123 / 29a

Das Viereck ABCD bildet die Grundfläche der Pyramide. Da in der Volumenformel der Pyramide V=\frac{1}{3}Gh der Flächeninhalt der Grundfläche vorkommt. soll zuerst G berechnet werden.
\vec {AB}=\vec b + \vec a =  \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 0  \\\ -1 \end{array}\right) -  \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2  \\\ 3 \end{array}\right) =  \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -2  \\\ -4 \end{array}\right), \vec {BC}=  \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 4  \\\ -4 \end{array}\right), \vec {CD}= \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 4 \end{array}\right), \vec {DA}= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -4  \\\ 4 \end{array}\right)
Hier sieht man, dass \vec {AB} = -\vec {CD} = \vec {DC}, \vec {BC}=-\vec {DA}=\vec {AD} ist, das Viereck ist also ein Parallelogramm. Es ist weiterhin |\vec {AB}| = \sqrt {4^2 + (-2)^2+(-4)^2}=6=|\vec {BC}|=|\vec {CD}|=|\vec {DA}|. Also ist das Viereck eine Raute.
Wegen  \vec {AB} \circ \vec {BC}=-8-8+16=0 ist der Winkel bei B ein 90o-Winkel. Also ist das Viereck ein Quadrat. Sein Flächeninhalt ist dann G = 36.
Aus der Volumenformel V=\frac{1}{3}Gh kann man nun die Länge der Pyramidenhöhe h bestimmen. h = \frac{3V}{G} = \frac{3\cdot 72}{36}=6.
Mit dem Vektorprodukt hätte man auch den Flächeninhalt der Grundfläche G bestimmen können. Man erhält auch hier 36 (wird weiter unten noch berechnet).

Der Mittelpunkt M des Quadrats ist der Höhenfußpunkt der Pyramide. M ist auch der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, bzw. der Mittelpunkt einer Quadratdiagonalen.
Es ist \vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec c)=\frac{1}{2} \left[ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2  \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 4  \\\ -5 \end{array}\right) \right ] = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3  \\\ -1 \end{array}\right) und M(2;3;-1).
Nun muss man senkrecht zu G von M aus 6 Einheiten nach "oben" oder "unten" gehen um zu S zu kommen. Dazu braucht man einen Vektor \vec v, der senkrecht zur Grundfläche steht. Einen solchen Vektor erhält man, wenn man das Vektorprodukt \vec {AB} \times \vec {AD} bestimmt. Es ist \vec {AB} \times \vec {AD} = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -2  \\\ -4 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 4  \\\ -4 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 24 \\\ 24  \\\ 12 \end{array}\right)
Der Betrag des Vektors \vec v ist |\vec v|=\left |\left ( \begin{array}{c} 24 \\\ 24  \\\ 12 \end{array}\right)\right | =36
Der Einheitsvektor zu \vec {v^1} zum Vektor \vec v=\left ( \begin{array}{c} 24 \\\ 24  \\\ 12 \end{array}\right) ist \vec {v^1}=\frac{1}{36}\left ( \begin{array}{c} 24 \\\ 24  \\\ 12 \end{array}\right)= \frac{1}{3}\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2  \\\ 1 \end{array}\right)

Nun muss man die Pyramidenspitze S bestimmen. Von M aus geht man 6 Einheiten in Richtung des Einheitsvektors \vec {v^1}, also \vec {MS}=6\cdot \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2  \\\ 1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 4  \\\ 2 \end{array}\right).
Die Spitze S hat den Ortsvektor \vec s und es ist \vec s = \vec m + \vec {MS}=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3  \\\ -1 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 4  \\\ 2 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 7  \\\ 1 \end{array}\right) und S(6;7;1)

Man hätte von M aus auch in die Richtung von -\frac{1}{3}\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2  \\\ 1 \end{array}\right) gehen können. Dann geht man von M aus 6 Einheiten in Richtung dieses Einheitsvektors und bekommt dann \vec {MS'}=-6\cdot \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2  \\\ 1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -4  \\\ -2 \end{array}\right).

S' hat dann die Koordinaten S'(-2;-1;-3).


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Buch S. 124 / 33
Buch S. 124 / 35

1124/33 a)\vec {TR}=\vec r + \vec t =  \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 6  \\\ -1 \end{array}\right) -  \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2  \\\ 1 \end{array}\right) =  \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 4  \\\ -2 \end{array}\right), \vec {RE}=  \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -2  \\\ 4 \end{array}\right), \vec {ET}= \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -2 \\\ -2 \end{array}\right)
|\vec {TR}| = \sqrt {(-2)^2 + 4^2+(-2)^2}=\sqrt {24} = 2 \sqrt 6=|\vec {RE}|=|\vec {ET}|, also ist das Dreieck TRE gleichseitig. Seine Umfangslänge ist u = 3\cdot 2 \sqrt 6 = 6 \sqrt 6 und sein Flächeninhalt  A = \frac{1}{2}gh=\frac{1}{2}\cdot g \cdot \frac{g}{2}\sqrt 3=\frac{1}{2}\cdot 2 \sqrt 6 \cdot \frac{2 \sqrt 6}{2}\sqrt 3 = 6 \sqrt 3.

b) Um zu zeigen, dass die drei Punkte T, R, E gleichweit von M entfernt sind, muss man die Beträge der Vektoren \vec {TM}, \vec {RM}, \vec {EM} berechnen.
Es ist \vec {TM}= \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 2  \\\ 0 \end{array}\right), \vec {RM}=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2  \\\ 2 \end{array}\right), \vec {EM}=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 0  \\\ -2 \end{array}\right) und |\vec {TM}|=\sqrt {(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt 2 = |\vec {RM}|=|\vec {EM}|.
T, R und E liegen auf einer Kugel um M mit Radius  r=2 \sqrt 2. Die Koordinatengleichung der Kugel lautet (x_1-1)^2 + (x_2-4)^2 + (x_3-1)^2 =8.
Die Inhalt der Oberfläche ist  O = 4 \pi r^2 = 32 \pi \approx 100,5, das Volumen ist V=\frac{4}{3}r^3\pi=\frac{4}{3}(2\sqrt 2)^3 \pi=\frac{64}{3}\sqrt 2 \pi \approx 94,8


124/35 \vec {AB}=\vec b + \vec a =  \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 10  \\\ 4 \end{array}\right) -  \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 5  \\\ 4 \end{array}\right) =  \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5  \\\ 0 \end{array}\right), \vec {BC}=  \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0  \\\ -4 \end{array}\right), \vec {CD}= \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -5 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {DA}= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0  \\\ 4 \end{array}\right)
Hier sieht man, dass \vec {AB} = -\vec {CD} = \vec {DC}, \vec {BC}=-\vec {DA}=\vec {AD} ist, das Viereck ist also ein Parallelogramm.
Berechnet man den Winkel bei A, dann ist \vec {AB} \circ \vec {AD}=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5  \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0  \\\ -4 \end{array}\right) = 0 + 0 + 0 = 0, also ist bei A ein 90o-Winkel und das Parallelogramm ist ein Rechteck mit den Seitenlängen l = \sqrt {29}, b = 4.

Die Volumina der beiden Pyramiden ABCDS1 und ABCDS2 berechnet man mittels der Volumenformel V=\frac{1}{3}|(\vec {AB} \times \vec {AD}) \circ \vec {AS}|
Es ist V_1=\frac{1}{3}|(\vec {AB} \times \vec {AD}) \circ \vec {AS_1}|=\frac{1}{3} \left | \left [ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5  \\\ 0 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0  \\\ -4 \end{array}\right)  \right ] \circ \  \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2,1  \\\ -2 \end{array}\right) \right | = =\frac{1}{3} \left |  \left ( \begin{array}{c} -20 \\\ 8  \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2,1  \\\ -2 \end{array}\right) \right |=| \frac{1}{3} \cdot \frac{-116}{5} | = 7\frac{11}{15} und
Es ist V_2=\frac{1}{3}|(\vec {AB} \times \vec {AD}) \circ \vec {AS_2}|=\frac{1}{3} \left | \left [ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5  \\\ 0 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0  \\\ -4 \end{array}\right)  \right ] \circ \  \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2,9  \\\ -2 \end{array}\right) \right | = =\frac{1}{3} \left |  \left ( \begin{array}{c} -20 \\\ 8  \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2,9  \\\ -2 \end{array}\right) \right |=| \frac{1}{3} \cdot \frac{116}{5} | = 7\frac{11}{15}

Das Volumen der Doppelpyramide ist  V = V_1+V_2=15\frac{7}{15}.