M11 Aufgaben und Anwendungen der Vektorrechnung

  Aufgabe 1

Buch S. 120 / 1
Buch S. 120 / 4
Buch S. 121 / 5

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Gesucht sind die Punktkoordinaten, diese werden waagrecht an den Punktnamen angefügt.
A(6;0;0); B(6;12;0), C(0;12;0), D(0;0;0), E(6;0;7), F(6;12;7), G(0;12;7), H(0;0;7)
M1 ist der Schnittpunkt der Flächendiagonale der unteren Fläche. Für den Ortsvektor $\vec {m_1}$ des Mittelpunktes der Strecke [DB] hat man die Formel $\vec {m_1}=\frac{1}{2}(\vec d + \vec b$. Dies liefert dann aie Koordinaten des Schnittpunktes.
M1(3;6;0), M3(3;12;3,5), M6(3;6;7) und M(3;6;3,5)

4. a) $\vec {AB}= \vec b - \vec a = \left ( \begin{array}{c} -5 \\\ 1 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -7 \\\ -2 \end{array}\right)$ und $\vec {BA}= -\vec {AB}= \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 2 \end{array}\right)$

b) $\vec {AB}= \vec b - \vec a = \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ -1 \\\ -4 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} -5 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 10 \\\ -2 \\\ -2 \end{array}\right)$ und $\vec {BA}= -\vec {AB}= \left ( \begin{array}{c} -10 \\\ 2 \\\ 2 \end{array}\right)$

c) $\vec {AB}= \vec b - \vec a = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \\\ 3 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ -3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2 \\\ 6 \end{array}\right)$ und $\vec {BA}= -\vec {AB}= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ -6 \end{array}\right)$

5. In dem gezeichneten Koordinatensystem im Buch ist keine Achsenskalierung angegeben. Für die Angaben wurden jeweils zwei Kästchen als 1 LE angenommen.
$\vec a= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \end{array}\right), \vec b = \left ( \begin{array}{c} -1,5 \\\ 1,5 \end{array}\right), \vec c = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right), \vec d= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2 \end{array}\right), \vec e = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \end{array}\right), \vec f = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \end{array}\right)$
a) $\vec a + 2 \vec b + \vec c = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \end{array}\right) + 2\cdot \left ( \begin{array}{c} -1,5 \\\ 1,5 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \end{array}\right)$
b) $\vec c + \vec d - \vec a = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ -1 \end{array}\right)$
c) $\vec e - \vec f + 2\vec c + \vec d = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \end{array}\right) + 2\cdot \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ -2 \end{array}\right)$

d) $\vec a + \vec b + \vec c + \vec d + \vec e + \vec f + \left ( \begin{array}{c} 7,5 \\\ 0 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} -1,5 \\\ 1,5 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 7,5 \\\ 0 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 15 \\\ 2,5 \end{array}\right)$

  Aufgabe 2

Buch S. 121 / 10

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Ausgangspunkt ist die Funktion $f : x \rightarrow \frac{1}{x}$ D=R\{0},
Die Definitionslücke ist bei x = 0. Die beiden Hyperbeläste sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

.

a) Die Funktion $f_1: x \rightarrow \frac{1}{x-1}$ hat die Definitionslücke bei x = 1. Also wird der Graph der Funktion $f$ um 1 nach rechts in x-Richtung verschoben.
Zu jedem Funktionswert wird 4 addiert. Also wird zusätzlich noch in y-Richtung um 4 nach oben verschoben.
Das Symmetriezentrum ist nun (1;4) und der Verschiebungsvektor $\vec u = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 4 \end{array}\right)$. Der grüne Graph der Funktion $f$ wird um 1 nach rechts und 4 nach oben verschoben. Man erhält den roten Graph der Funktion $f_1$.

b) Die Funktion $f_2: x \rightarrow \frac{1}{x+2}$ hat die Definitionslücke bei x = -2. Also wird der Graph der Funktion $f$ um -2 in x-Richtung (um 2 nach links) verschoben.
In y-Richtung passiert nichts.
Das Symmetriezentrum ist nun (-2;0) und der Verschiebungsvektor $\vec v = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \end{array}\right)$ . Der grüne Graph der Funktion $f$ wird um 2 nach links verschoben und man erhält den blauen Graph der Funktion $f_2$.

  Aufgabe 3

Bestimmen Sie die Koordinaten
1. des Mittelpunkts der Strecke [AB] mit
a) A(0;3;-4) und B(-6;1;-2)
b) A(8;0,5;-5) und B(-3;1,5;-1)
2. den Schwerpunkt des Dreiecks ABC mit A(-2;0;3), B(5;2;1) und C(0;4;2)

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1a) $\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{2} \cdot \left [ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \\\ -4 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} -6 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right) \right ] = \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 2 \\\ -3 \end{array}\right)$
b) $\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{2} \cdot \left [ \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ 0,5 \\\ -5 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 1,5 \\\ -1 \end{array}\right) \right ] = \left ( \begin{array}{c} 2,5 \\\ 1 \\\ -3 \end{array}\right)$ und M(2,5;1;-3)

2. $\vec s=\frac{1}{3}(\vec a + \vec b + \vec c) = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 4 \\\ 2 \end{array}\right) \right ]= \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ 6 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 2 \end{array}\right)$ und S(1;2;2)

  Aufgabe 4

Buch S. 123 / 29a

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Das Viereck ABCD bildet die Grundfläche der Pyramide. Da in der Volumenformel der Pyramide $V=\frac{1}{3}Gh$ der Flächeninhalt der Grundfläche vorkommt. soll zuerst G berechnet werden.
$\vec {AB}=\vec b + \vec a = \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 0 \\\ -1 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -2 \\\ -4 \end{array}\right), \vec {BC}= \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 4 \\\ -4 \end{array}\right), \vec {CD}= \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 4 \end{array}\right), \vec {DA}= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -4 \\\ 4 \end{array}\right)$
Hier sieht man, dass $\vec {AB} = -\vec {CD} = \vec {DC}, \vec {BC}=-\vec {DA}=\vec {AD}$ ist, das Viereck ist also ein Parallelogramm. Es ist weiterhin $|\vec {AB}| = \sqrt {4^2 + (-2)^2+(-4)^2}=6=|\vec {BC}|=|\vec {CD}|=|\vec {DA}|$. Also ist das Viereck eine Raute.
Wegen $\vec {AB} \circ \vec {BC}=-8-8+16=0$ ist der Winkel bei B ein 90^o-Winkel. Also ist das Viereck ein Quadrat. Sein Flächeninhalt ist dann G = 36.
Aus der Volumenformel $V=\frac{1}{3}Gh$ kann man nun die Länge der Pyramidenhöhe h bestimmen. $h = \frac{3V}{G} = \frac{3\cdot 72}{36}=6$.
Mit dem Vektorprodukt hätte man auch den Flächeninhalt der Grundfläche G bestimmen können. Man erhält auch hier 36 (wird weiter unten noch berechnet).

Der Mittelpunkt M des Quadrats ist der Höhenfußpunkt der Pyramide. M ist auch der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, bzw. der Mittelpunkt einer Quadratdiagonalen.
Es ist $\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec c)=\frac{1}{2} \left[ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 4 \\\ -5 \end{array}\right) \right ] = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -1 \end{array}\right)$ und M(2;3;-1).
Nun muss man senkrecht zu G von M aus 6 Einheiten nach "oben" oder "unten" gehen um zu S zu kommen. Dazu braucht man einen Vektor $\vec v$, der senkrecht zur Grundfläche steht. Einen solchen Vektor erhält man, wenn man das Vektorprodukt $\vec {AB} \times \vec {AD}$ bestimmt. Es ist $\vec {AB} \times \vec {AD} = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -2 \\\ -4 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 4 \\\ -4 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 24 \\\ 24 \\\ 12 \end{array}\right)$
Der Betrag des Vektors $\vec v$ ist $|\vec v|=\left |\left ( \begin{array}{c} 24 \\\ 24 \\\ 12 \end{array}\right)\right | =36$
Der Einheitsvektor zu $\vec {v^1}$ zum Vektor $\vec v=\left ( \begin{array}{c} 24 \\\ 24 \\\ 12 \end{array}\right)$ ist $\vec {v^1}=\frac{1}{36}\left ( \begin{array}{c} 24 \\\ 24 \\\ 12 \end{array}\right)= \frac{1}{3}\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right)$

Nun muss man die Pyramidenspitze S bestimmen. Von M aus geht man 6 Einheiten in Richtung des Einheitsvektors $\vec {v^1}$, also $\vec {MS}=6\cdot \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 4 \\\ 2 \end{array}\right)$.
Die Spitze S hat den Ortsvektor $\vec s$ und es ist $\vec s = \vec m + \vec {MS}=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -1 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 4 \\\ 2 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 7 \\\ 1 \end{array}\right)$ und S(6;7;1)

Man hätte von M aus auch in die Richtung von $-\frac{1}{3}\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right)$ gehen können. Dann geht man von M aus 6 Einheiten in Richtung dieses Einheitsvektors und bekommt dann $\vec {MS'}=-6\cdot \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -4 \\\ -2 \end{array}\right)$.

S' hat dann die Koordinaten S'(-2;-1;-3).

  Aufgabe 5

Buch S. 124 / 33
Buch S. 124 / 35

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1124/33 a)$\vec {TR}=\vec r + \vec t = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 6 \\\ -1 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 4 \\\ -2 \end{array}\right), \vec {RE}= \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -2 \\\ 4 \end{array}\right), \vec {ET}= \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -2 \\\ -2 \end{array}\right)$
$|\vec {TR}| = \sqrt {(-2)^2 + 4^2+(-2)^2}=\sqrt {24} = 2 \sqrt 6=|\vec {RE}|=|\vec {ET}|$, also ist das Dreieck TRE gleichseitig. Seine Umfangslänge ist $u = 3\cdot 2 \sqrt 6 = 6 \sqrt 6$ und sein Flächeninhalt $A = \frac{1}{2}gh=\frac{1}{2}\cdot g \cdot \frac{g}{2}\sqrt 3=\frac{1}{2}\cdot 2 \sqrt 6 \cdot \frac{2 \sqrt 6}{2}\sqrt 3 = 6 \sqrt 3$.

b) Um zu zeigen, dass die drei Punkte T, R, E gleichweit von M entfernt sind, muss man die Beträge der Vektoren $\vec {TM}, \vec {RM}, \vec {EM}$ berechnen.
Es ist $\vec {TM}= \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 2 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {RM}=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2 \\\ 2 \end{array}\right), \vec {EM}=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 0 \\\ -2 \end{array}\right)$ und $|\vec {TM}|=\sqrt {(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt 2 = |\vec {RM}|=|\vec {EM}|$.
T, R und E liegen auf einer Kugel um M mit Radius $r=2 \sqrt 2$. Die Koordinatengleichung der Kugel lautet $(x_1-1)^2 + (x_2-4)^2 + (x_3-1)^2 =8$.
Die Inhalt der Oberfläche ist $O = 4 \pi r^2 = 32 \pi \approx 100,5$, das Volumen ist $V=\frac{4}{3}r^3\pi=\frac{4}{3}(2\sqrt 2)^3 \pi=\frac{64}{3}\sqrt 2 \pi \approx 94,8$

124/35 $\vec {AB}=\vec b + \vec a = \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 10 \\\ 4 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 5 \\\ 4 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {BC}= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ -4 \end{array}\right), \vec {CD}= \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -5 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {DA}= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 4 \end{array}\right)$
Hier sieht man, dass $\vec {AB} = -\vec {CD} = \vec {DC}, \vec {BC}=-\vec {DA}=\vec {AD}$ ist, das Viereck ist also ein Parallelogramm.
Berechnet man den Winkel bei A, dann ist $\vec {AB} \circ \vec {AD}=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ -4 \end{array}\right) = 0 + 0 + 0 = 0$, also ist bei A ein 90^o-Winkel und das Parallelogramm ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $l = \sqrt {29}, b = 4$.

Die Volumina der beiden Pyramiden ABCDS₁ und ABCDS₂ berechnet man mittels der Volumenformel $V=\frac{1}{3}|(\vec {AB} \times \vec {AD}) \circ \vec {AS}|$
Es ist $V_1=\frac{1}{3}|(\vec {AB} \times \vec {AD}) \circ \vec {AS_1}|=\frac{1}{3} \left | \left [ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ 0 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ -4 \end{array}\right) \right ] \circ \ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2,1 \\\ -2 \end{array}\right) \right | = =\frac{1}{3} \left | \left ( \begin{array}{c} -20 \\\ 8 \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2,1 \\\ -2 \end{array}\right) \right |=| \frac{1}{3} \cdot \frac{-116}{5} | = 7\frac{11}{15}$ und
Es ist $V_2=\frac{1}{3}|(\vec {AB} \times \vec {AD}) \circ \vec {AS_2}|=\frac{1}{3} \left | \left [ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ 0 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ -4 \end{array}\right) \right ] \circ \ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2,9 \\\ -2 \end{array}\right) \right | = =\frac{1}{3} \left | \left ( \begin{array}{c} -20 \\\ 8 \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2,9 \\\ -2 \end{array}\right) \right |=| \frac{1}{3} \cdot \frac{116}{5} | = 7\frac{11}{15}$

Das Volumen der Doppelpyramide ist $V = V_1+V_2=15\frac{7}{15}$.