M11 Aufgaben zum Wahrscheinlichkeitsbegriff

Buch S. 173 / 2

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Buch S. 173 / 4

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Da spätestens alle Glühfäden bei Erreichen der Temperatur T₄ durchgebrannt sind, ist P(T₁) + P(T₂) + P(T₃) + P(T₄) = 0,05 + 0,1 + P(T₃) + 0,25 = 1 und P(T₃)=0,6.

a) Die zweite Teststufe überstehen P(T₃ oder T₄ = P(T₃) + P(T₄) = 0,6 + 0,25 = 0,85.
Oder P(T₃ oder T₄ = 1 - P(T₁) - P(T₂) = 1 - 0,05 - 0,1 = 0,85.

b) Nach der dritten Stufe sind noch 25% übrig.

Buch S. 173 / 5

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Die drei Ereignisse A, B und C ergeben zusammen den Ergebnisraum $\Omega$ und sind paarweise unvereinbar.
Es ist 1 = P( $\Omega$ = P(A) + P(B) + P(C) = 3·P(C) + 3·P(C) + P(C) = 7·P(C), also ist $P(C)=\frac{1}{7}, P(A)=P(B)=\frac{3}{7}$

In einer Urne sind 7 Kugeln, davon sind drei Kugeln blau, drei Kugeln rot und eine Kugel gelb. Man zieht eine Kugel.

Buch S. 173 / 6

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n = 3: $\Omega = \lbrace 111, 112, 113, 114, 115, 116, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 131, 132, 134, 135, 135, 145, ..., 666 \rbrace$ und $|\Omega|=216$
a) Höchstens eine 4 wird geworfen, wenn nur einmal eine 4 dabei ist, also hat man alle Ergebnisse ohne 4, das sind 5·5·5 = 125 Ergebnisse. Die Ergebnisse mit einer 4 bedeutet, dass an einer Stelle 4 steht, die anderen zwei Stellen sind keine 4, also hat man 3·1·5 = 15 und insgesamt 140 mögliche Ergebnisse.
$P(hoechstens\ eine\ 4)=\frac{140}{216}=\frac{35}{54}=0,65$
b) Mindestens eine 4 bedeutet, dass bei allen Ergebnissen kein Ergebnis ohne 4 vorkommt. Man hat 125 Ergebnisse ohne 4 (siehe a)), also gibt es 216 - 125 = 91 Ergebnisse mit mindestens einer 4.
$P(mindestens\ eine\ 4) = \frac{91}{216}=0,42$
Die 91 Ergebnisse erhält man auch durch diese Überlegung: 444 ist 1 Ergebnis, zweimal 4 hat man bei 3·5 = 15 Ergebnissen (441, 442, 443, 445, 446 und die "nicht 4 Ziffer" kann an einer der drei Stellen stehen), einmal 4 hat man bei 3·5·5 = 75 Ergebnissen (4xy mit x,y ist eine der 5 anderen Ziffern und die 4 kann an einer der drei STellen stehen).

Für n beliebig kann man die analoge Überlegung anstellen: $|\Omega |=6^n$
a) $P(hoechstens\ eine \ 4)= P(keine\ 4) + P(genau\ eine\ 4)=\frac{5^n}{6^n}+n\cdot \frac{1\cdot 5^{n-1}}{6^n}=(5+n)\frac{5^{n-1}}{6^n}$